Enunciado

Obtenha os pontos de pi 1 : X = (1 , 0 , 0) + lambda (2 , 1 , 1) + mu ( 0 , 0 , 1 ) que pertencem a pi 2 : x + y + z - 1 = 0 .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a equação geral de pi 1 ok?

Pra isso precisamos do seu vetor normal, que é o produto vetorial dos seus vetores diretores:

vec n = (2 , 1 , 1) ^^ (0 , 0 , 1) = ( 1 , - 2 , 0 )

Então, a equação de pi 1 pode ser escrita como:

1 x - 2 y + 0 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 , 0 , 0 ) (que vimos na equação vetorial que pertence ao plano):

1.1 - 2.0 + d = 0

d = - 1

Então:

pi 1 : x - 2 y - 1 = 0

Passo 2

Para encontrar os pontos em comum de pi 1 e pi 2 , devemos resolver o sistema:

{[[x - 2 y - 1 = 0],[x + y + z - 1 = 0]])

Repara que temos duas equações e 3 incógnitas, então com certeza esse sistema não tem solução única.

Se isolarmos x na primeira equação:

x = 2 y + 1

Substituindo isso na segunda equação:

2 y + 1 + y + z - 1 = 0

3 y + z = 0

z = - 3 y

Passo 3

Beleza, então nosso lugar geométrico ( x , y , z ) é do tipo:

(x , y , z) = ( 2 y + 1 , y , - 3 y )

Vamos separar letras de termos independentes em vetores distintos:

(x , y , z) = (2 y , y , - 3 y) + ( 1 , 0 , 0 )

Colocando y em evidência:

(x , y , z) = y (2 , 1 , - 3) + ( 1 , 0 , 0 )

Opa, olha o y querendo ser parâmetro hahaha então vamos substituir ele por lambda , teremos a equação:

(x , y , z) = (1 , 0 , 0) + lambda ( 2 , 1 , - 3 )

Que é a equação de uma reta :D então os pontos que passam pelos dois planos formam uma reta!!

Resposta

(x , y , z) = (1 , 0 , 0) + lambda ( 2 , 1 , - 3 )

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