Enunciado

Obtenha um vetor diretor da reta que é paralela ao plano π : x + y + z = 0 e forma ângulo de 45 ° com o plano π 1 : x - y = 0 .

Passo 1

Seja r → = ( e ,   f ,   g ) o vetor diretor da reta r que procuramos.

Como a reta r é paralela ao plano π , ela é perpendicular ao seu vetor normal ( 1 ,   1 ,   1 ) , logo:

e ,   f ,   g . 1 ,   1 ,   1 = 0

e + f + g = 0

e = - f - g     ( I )

Passo 2

A reta r forma um ângulo de 45 ° com o plano π , que tem vetor normal ( 1 ,   - 1 ,   0 ) , então:

s e n   45 ° = 1 ,   - 1 ,   0 . e ,   f ,   g 1 2 + - 1 2 e 2 + f 2 + g 2

2 2 = e - f 2 e 2 + f 2 + g 2    

1 = e - f e 2 + f 2 + g 2 ( I I )

Passo 3

Substituindo ( I ) em ( I I ) , temos:

1 = - f - g - f ( - f - g ) 2 + f 2 + g ²

1 = - 2 f - g f 2 + 2 f g + g ² + f 2 + g ²

1 = - 2 f - g 2 f 2 + 2 f g + 2 g ²

- 2 f - g = 2 f 2 + 2 f g + 2 g ²

Elevando os dois lados ao quadrado:

- 2 f - g 2 = 2 f 2 + 2 f g + 2 g ²

4 f 2 + 4 f g + g 2 = 2 f 2 + 2 f g + 2 g ²

2 f 2 + 2 f g - g 2 = 0

Manipulando pra fazer algumas mágicas:

3 f 2 - f 2 + 2 f g - g 2 = 0

3 f 2 - f 2 - 2 f g + g 2 = 0

3 f 2 - f - g 2 = 0

3 f 2 - f - g 2 = 0

3 f - f + g 3 f + f - g = 0

Então ficamos, ou com:

3 f - f + g = 0

g = f - 3 f

g = 1 - 3 f  

Ou, então, com:

3 f + f - g = 0

g = f + 3

g = 1 + 3 f

Passo 4

Substituindo na equação ( I ) o primeiro valor que encontramos para g :

e = - f - g

e = - f - f - 3 f

e = - 2 f + 3 f

e = - 2 + 3 f  

E, daí, ficamos com o vetor diretor:

r → = ( e ,   f ,   g )

r → = - 2 + 3 f ,   f ,   v f

Agora substituindo o segundo valor que encontramos para g :

e = - f - g

e = - f - f + 3 f

e = - 2 f - 3 f

Então, nosso vetor diretor é

r → = e ,   f ,   g

r → = - 2 - 3 f ,   f ,   1 + 3 f

Então, escolhendo f = 1 (você pode escolher outro valor se quiser viu? Essa reta tem infinitas opções de vetor diretor porque todos vão ser LD):

r → = - 2 + 3 ,   1 , 1 - 3                           r → = - 2 - 3 ,   1 ,   1 + 3

Resposta

r → = - 2 + 3 ,   1,1 - 3                           r → = - 2 - 3 ,   1 ,   1 + 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o ângulo que a reta r : { x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5 Forma com o olnao π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0 .
Seja a reta: r : x = 3 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 2 t a) Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano x O y ? E Sobre o plano x O z ? b) Qual o ângulo que r forma com o plano x O y ?
Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = ( 2,1 , 0 ) e é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0 e 2 x - y + 4 z - 1 = 0 .
Escreva uma equação do plano perpendicular ao plano x+ y+ z- 1= 0 , paralelo à reta x 1 = y - 1 2 = z - 2 3 e passando por P= ( 1,5 , 3 ) .
Escreva uma equação do plano que passa por A = ( 0,2 , - 1 ) e B = ( 1,2 , 3 ) e que é perpendicular ao plano 2 x- y+z+ 3= 0 .