Enunciado

Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:

A ( 1,2 , 1 ) e a reta interseção do plano x - 2 y + z - 3 = 0 com o plano y O z

Passo 1

Vamos primeiro lembrar quem é esse plano y O z , é exatamente esse plano aqui:

Que, podemos perceber na figura que é onde x = 0

Então temos que a reta interseção é dada desse sisteminha:

r : x - 2 y + z - 3 = 0 x = 0

Passo 2

Vamos resolver esse sisteminha então para achar a equação dela:

x - 2 y + z - 3 = 0

Como x = 0 ,

- 2 y + z - 3 = 0

z = 3 + 2 y

Então, chamando o y de λ , ficamos com a equação vetorial:

r = 0,0 , 3 + λ ( 0,1 , 2 )

Passo 3

Para acharmos a equação do plano precisamos de 3 pontos, o primeiro o enunciado nos diz que é o ponto A = ( 1,2 , 1 ) , para achar os outros dois pontos vamos atribuir dois valores qualquer para λ , por exemplo λ = 1 e λ = 2 :

Para λ = 1 , temos:

B = 0,0 , 3 + 0,1 , 2

B = ( 0,1 , 5 )

Para λ = 2 , temos:

C = 0,0 , 3 + ( 0,2 , 4 )

C = ( 0,2 , 7 )

Passo 4

Agora que temos nossos 3 pontos, vamos achar com eles, dois vetores que chamaremos de u → = A B e v → = A C

u → = B - A = 0,1 , 5 - 1,2 , 1

u → = ( - 1 , - 1,4 )

v → = C - A = 0,2 , 7 - ( 1,2 , 1 )

v → = ( - 1,0 , 6 )

Passo 5

Colocando o ponto A e os vetores u → e v → na matriz, temos:

x - 1 y - 2 z - 1 - 1 - 1 4 - 1 0 6

Achando o determinante dessa matriz, ficamos com:

- 6 x + 2 y - z + 3 = 0

Que podemos escrever como

6 x - 2 y + z - 3 = 0

Resposta

6 x - 2 y + z - 3 = 0

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