Enunciado

Determinar o ponto P de interseção dos planos 2 x - y + z - 8 = 0 ,   x + 2 y - 2 z + 6 = 0 e 3 x - z - 3 = 0 e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta r : x = y , z = 2 y

Passo 1

Com essas 3 equações, podemos montar o sistema:

2 x - y + z = 8   I x + 2 y - 2 z = - 6   I I 3 x - z = 3   I I I

Começando por ( I I I ) , temos que

z = 3 x - 3

Agora, substituindo isso nas equações ( I ) e ( I I ) , ficamos com:

2 x - y + 3 x - 3 = 8 x + 2 y - 2 ( 3 x - 3 ) = - 6

5 x - y = 11 - 5 x + 2 y = - 1

Resolvendo esse sisteminha, tiramos que

x = 2

y = - 1

E como x = 2 , temos que

z = 3 2 - 3

z = 3

Então, nosso ponto P de interseção é:

P = ( 2 , - 1,3 )

Passo 2

Agora para achar a equação geral do plano, vamos analisar a reta r : x = y , z = 2 y

Se chamarmos y   de λ , ficamos com a seguinte parametrização:

λ ( 1,1 , 2 )

Logo, v → = ( 1,1 , 2 )

Para acharmos a equação geral, precisamos de dois vetores, já temos v → , então falta acharmos outro, precisamos então de dois pontos, um será o próprio ponto P e o outro vamos achar fazendo λ = 0

Fazendo λ = 0 :

P o = ( 0,0 , 0 )

Nosso vetor, que vamos chamar de u → = P o P →

u → = P - P 0 = 2 , - 1,3 - 0,0 , 0 = ( 2 , - 1,3 )

Passo 3

Agora que já temos os dois vetores do plano, vamos achar a normal, fazendo v → × u →

n → = v → × u → = i j k 1 1 1 2 - 1 3

Resolvendo essa matriz encontramos que

n → = 5 i + j - 3 k = ( 5,1 , - 3 )

Então, nosso plano que tem a formula

a x + b y + c z + d = 0

Onde a , b e c são os coeficientes x , y e z do nosso vetor normal, fica assim:

5 x + 1 y - 3 z + d = 0

E para acharmos esse nosso coeficiente d vamos substituir ( x , y , z ) pelo ponto P ( 2 , - 1,3 )

5 * 2 + - 1 - 3 3 + d = 0

d = 0

Então nosso plano tem a equação geral:

π : 5 x + y - 3 z = 0

Resposta

P = 2 , - 1,3

π : 5 x + y - 3 z = 0

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