Enunciado

Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto   P

  1. E : x 2 + y 2 + z 2 = 9 ; P ( 2,1 , - 2 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Queremos a equação do plano tangente, certo? Vou chamar esse plano de π . A equação geral do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Para equacionar esse plano precisamos de um vetor ( a , b , c ) que seja normal e de um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertença a ele também. O ponto a gente pega direto do enunciado e é o P ( 2 , 1 , - 2 ) . E o vetor normal? Xiiii.. Mas calma, vou ajudar você, saca só!

Vamos pensar um pouquinho. A partir da equação da superfície esférica a gente já sabe como encontrar o centro, beleza? Podemos construir então um vetor que sai do centro e vá até o ponto P , pois assim ele vai estar na direção radial da superfície (já que o plano é tangente), e consequentemente normal ao plano. Então é daqui que vamos achar o vetor normal: a partir do centro da superfície E .

Então a ideia aqui é a seguinte: a partir da equação para E achar seu centro, depois construir o vetor normal com o ponto dado. Daí com o vetor normal e o ponto é só substituir na equação geral do plano, fazer as multiplicações, reorganizar os termos, e correr pro abraço!

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro vamos resgatar a equação da superfície E :

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Ela é do tipo geral centrada na origem, então o centro é ( 0 , 0,0 ) .

Passo 3

Pronto! Agora vamos construir o vetor normal ao plano. Esse vetor vai sair do centro C ( 0 , 0,0 ) e ir até o ponto P ( 2,1 , - 2 ) dado. Assim o vetor é:

v → = P - C = 2,1 , - 2 - 0,0 , 0 = ( 2,1 , - 2 )

Passo 4

Resumindo, o ponto P e o vetor v → são:

x 0 , y 0 , z 0 = P ( 2,1 , - 2 )

a , b , c = v → = ( 2,1 , - 2 )

Agora vamos resgatar a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Substituindo temos:

2 x - 2 + 1 y - 1 - 2 z + 2 =

2 x - 4 + y - 1 - 2 z - 4 = 0

2 x + y - 2 z - 9 = 0

Pronto! Resolvido! A equação do plano tangente é 2 x + y - 2 z - 9 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

2 x + y - 2 z - 9 = 0

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