Enunciado

Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:

9 y 2 - 25 x 2 - 90 y - 5 0 x = 2 5

Passo 1

Para essa questão, temos uma série de elementos que precisamos descobrir:

  • Precisamos descobrir qual cônica essa equação representa;
  • Determinar os pontos de interesse como Centro, Focos e Vértices;
  • Assíntotas caso existam.

Depois de descobertos esses fatores, plotaremos o gráfico.

Passo 2

Para descobrir qual cônica a equação 9 y 2 - 25 x 2 - 90 y - 50 x = 25 representa. Para isso, vamos completar quadrados.

9 y 2 - 25 x 2 - 90 y - 50 x = 25

9 y 2 - 90 y - 25 x 2 - 50 x = 25

9 y 2 - 10 y - 25 ( x 2 + 2 x ) = 25

9 [ y - 5 2 - 25 ] - 25 [ x + 1 2 - 1 ] = 25

9 y - 5 2 - 225 - 25 x + 1 2 + 25 = 25

9 y - 5 2 - 25 x + 1 2 = 225

Passo 3

Completados os quadrados, vamos dividir a equação 9 y - 5 2 - 25 x + 1 2 = 225 por 225 para termos o 1 do lado direito da equação.

9 y - 5 2 - 25 x + 1 2 = 225

9 y - 5 2 225 - 25 x + 1 2 225 = 225 225

y - 5 2 25 - x + 1 2 9 = 1

Portanto, a cônica que estamos trabalhando se trata de uma equação no modelo:

y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1

Que é a equação de um hipérbole com eixo paralelo ao eixo y com seus parâmetros a e b dados:

a 2 = 25 b 2 = 9         →         a = 5 b = 3

E seu centro C x c ,   y c = ( - 1 ,   5 )

Passo 4

Dada a equação y - 5 2 25 - x + 1 2 9 = 1 , vamos começar a extrair os pontos de interesse usando os parâmetros que encontramos no Passo 3.

Para acharmos o parâmetro c , vamos usar da equação c 2 = a 2 + b 2

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 5 2 + 3 2

c 2 = 25 + 9

c 2 = 34

c = 34

Passo 5

Para acharmos os vértices A 1 e A 2 , vamos usar das relações A 1 = ( x c ,   y c - a ) e

A 2 = ( x c ,   y c + a ) . Assim:

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( - 1 ,   5 - 5 )

A 1 = ( - 1 ,   0 )

Então:

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( - 1 ,   5 + 5 )

A 2 = ( - 1 ,   1 0 )

Passo 6

Os Focos são dados pelas relações F 1 = ( x c , y c + c ) e F 2 = ( x c , y c - c ) . Então:

F 1 = x c , y c + c

F 1 = ( - 1 , 5 + 34 )

Logo,

F 2 = ( x c , y c - c )

F 2 = ( - 1 , 5 - 34 )

Passo 7

Com os pontos encontrados, vamos achar as assíntotas. Elas são dadas na forma:

y = y c ± a b ( x - x c )

Assim:

y 1 = 5 + 5 3 x + 1

y 2 = 5 - 5 3 x + 1

Passo 8

Com os pontos encontrados e as assíntotas calculadas, vamos plotar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra.

Passo 9

Ainda temos que escrever a equação da cônica da forma com eixos transladados.

Para isso, vamos manter os parâmetros a e b e escrever na forma: y ' 2 a 2 - x ' 2 b 2 = 1

  y ' 2 a 2 - x ' 2 b 2 = 1

y ' 2 25 - x ' 2 9 = 1

Passo 10

Para finalizar, vamos escrever os eixos real e imaginário dessa transalação.

O eixo real é dado por 2 a . Logo,

E i x o   R e a l : 2 ∙ a

E i x o   R e a l : 2 ∙ 5

E i x o   R e a l : 10

O eixo imaginário é dado por 2 b . Logo,

E i x o   I m a g i n á r i o : 2 ∙ b

E i x o   I m a g i n á r i o : 2 ∙ 3

E i x o   I m a g i n á r i o : 6

Pronto! Era isso que a questão queria!

Resposta

Hipérbole, y ' 2 25 - x ' 2 9 = 1 , eixo real 10 , eixo imaginário 6 , F 1 ( - 1 , 5 + 34 ) e F 2 - 1,5 - 34

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