Enunciado

O segmento B E é a base de um triângulo isósceles de vértice A e é também a interseção desse triângulo com o retângulo de vértices B , C , D e E . Os cinco pontos são coplanares. Conhecendo A = ( 1 ,   1 ,   0 ) , B = ( 2 ,   0 ,   1 ) e C = ( 6 ,   - 2 ,   3 ) , obtenha as coordenadas de D e E .

Passo 1

Em um problema desse tipo, o primeiro passo é visualizar a figura:

Como primeiro passo, vamos calcular alguns lados da figura. Primeiro o lado   A B :

A B → = B - A = 2 ,   0 ,   1 - 1 ,   1 ,   0 = 1 ,   - 1 ,   1 ⇒ A B → = 3

Assim, os lados A B e A E do triângulo medem 3 . Já para o lado B C :

B C → = C - B = 6 ,   - 2 ,   3 - 2 ,   0 ,   1 = 4 ,   - 2 ,   2 ⇒ B C → = 24 = 2 6

Portantoos lados B C e D E do retângulo medem 2 6 .

Uma observação importante: eu supus que B e C fossem vértices consecutivos do retângulo, mas o enunciado não explicita isso necessariamente. Poderiamos também supor que B C fosse a diagonal do retângulo. Todavia, é usual usarmos a ordem alfabética para distribuir os pontos numa figura geométrica, então vamos seguir essa ideia...

Passo 2

Todos os pontos estão num mesmo plano, assim como os vetores   A B → e   B C → . Vamos achar o vetor normal a esse plano:

n → = A B → ∧ B C → = i → j → k → 1 - 1 1 4 - 2 2 = ( 0 ,   2 ,   2 )

Por simplicidade, vamos usar

n → = ( 0 ,   1 ,   1 )

Todos os vetores do plano deve ser normais a ele!

Vamos procurar primeiro E = ( x ,   y ,   z ) . Para isso, montamos o vetor:

A E → = E - A = x ,   y ,   z - 1 ,   1 ,   0 = ( x - 1 ,   y - 1 ,   z )

Assim, como esse vetor deve ser ortogonal a n → :

x - 1 ,   y - 1 ,   z ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ y - 1 + z = 0 ⇒ z = 1 - y

Assim,

A E → = x - 1 ,   y - 1 ,   1 - y = x - 1 ,   - z ,   z           e             E = ( x ,   1 - z ,   z )

Além disso, temos que   B E → ⊥ B C → . Assim, como   B E → = E - B = ( x - 2 ,   1 - z   ,   z - 1 ) , temos que

x - 2 ,   1 - z ,   z - 1 ⋅ 4 ,   - 2 ,   2 = 0 ⇒ 4 x - 8 - 2 + 2 z + 2 z - 2 = 0

Logo,

4 x + 4 z = 12 ⇒ x + z = 3 ⇒ z = 3 - x

Assim,

E = x ,   1 - 3 + x ,   3 - x = ( x ,   - 2 + x ,   3 - x )

A E → = ( x - 1 ,   x - 3 ,   3 - x )

Passo 3

Sabemos também que a distância de A até E deve ser 3 :

A E → 2 = 3 ⇒ x - 1 2 + x - 3 2 + 3 - x 2 = 3

Logo,

x 2 - 2 x + 1 + 2 x 2 - 12 x + 18 = 3 ⇒ 3 x 2 - 14 x + 16 = 0

Portanto,

Δ = 196 - 4 ⋅ 16 ⋅ 3 = 196 - 192 = 4

Logo,

x = 14 ± 2 2 ⋅ 3

Obtemos dois pontos:

x = 2               o u             x = 16 6 = 8 3

Nesses caso,

E = 2 ,   0 ,   1           o u           E = 8 3 , 2 3 , 1 3

Note que o primeiro ponto coincide com B , então não é uma resposta válida. Isso ocorre pois B pertence ao mesmo plano, à mesma reta e tem a mesma distância de A que E . Desta forma, a resposta válida é

E = 8 3 , 2 3 , 1 3

Passo 4

Vamos olhar agora para o ponto D = ( a ,   b ,   c ) . Como o vetor   A D → deve ser ortogonal a n → , vamos obter também

b = 1 - c

Assim,

D = ( a ,   1 - c ,   c )

Analogamente, o vetor   C D → deve ser ortogonal a   B C → :

a - 6 ,   3 - c ,   c - 3 ⋅ 4 ,   - 2 ,   2 = 0 ⇒ 4 a - 24 - 6 + 2 c + 2 c - 6 = 0

Logo,

4 a + 4 c = 36 ⇒ a + c = 9 ⇒ c = 9 - a

Portanto,

D = ( a ,   - 8 + a ,   9 - a )

Passo 5

Além disso, a distância de D até E deve ser 2 6 :

E D → 2 = 2 6 2 = 24

Para isso, temos que

E D → = D - E = a ,   a - 8 ,   9 - a - 8 3 , 2 3 , 1 3 = a - 8 3 ,   a - 26 3 , 26 3 - a

Assim,

E D → 2 = a - 8 3 2 + a - 26 3 2 + 26 3 - a 2 = 24

Logo,

a 2 - 16 a 3 + 64 9 + 2 a 2 - 104 a 3 + 1352 9 = 24 ⇒ 3 a 2 - 40 a + 472 3 = 24

Ou ainda,

9 a 2 - 120 a + 472 = 72 ⇒ 9 a 2 - 120 a + 400 = 0

Com isso,

Δ = 14400 - 4 ⋅ 9 ⋅ 400 = 0

Portanto,

a = 120 ± 0 2 ⋅ 9 = 120 18 = 60 9 = 20 3

Assim,

D = 20 3 ,   - 4 3 , 7 3

Resposta

E = 8 3 , 2 3 , 1 3

D = 20 3 ,   - 4 3 , 7 3

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