Enunciado

O ponto X ' chama-se simétrico do ponto X em relação ao ponto A quando A é o ponto médio do segmento XX’. Qual é o simétrico do ponto X = ( x , y ) em relação ao ponto A = ( a , b ) ? Em particular, qual é o simétrico de X em relação à origem?

Passo 1

Falaaa, blzz??? Para iniciar vamos lembrar o conceito de ponto médio de um segmento.

Vamos supor que tenha um segmento que liga o ponto A (a,b) até o ponto B(c,d), o ponto médio do segmento AB é dado por:

M = ( a + c 2 , b + d 2 )

Passo 2

Ou seja, usando isso vamos determinar o ponto X ' tendo que A   é o ponto médio do segmento X X '

Pela equação já escrita e tomando X ' = ( t , k ) :

A = a , b = ( x + t 2 , y + k 2 )

Logo:

x + t 2 = a   e y + k 2 = b

Daqui tiramos que X ' = t , k = ( 2 a - x ,   2 b - y )

Passo 3

Agora vamos achar o simétrico de X em relação à origem.

Veja que fizemos a fórmula de um ponto simétrico a X para um ponto qualquer A, então basta forçar que A seja a origem, ou seja, a = b = 0 , substituindo na equação do ponto X ' :

X ' = t , k = 2 a - x ,   2 b - y

X ' = ( - x , - y )

Resposta

Caso A ponto médio:

X ' = ( 2 a - x ,   2 b - y )

Caso origem:

X ' = ( - x , - y )

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