Enunciado

Mostrar que os vetores v 1 = 1,1 , 1 ,   v 2 = 1,2 , 3 ,   v 3 = 3,0 , 2   e   v 4 = ( 2 , - 1,1 ) geram o I R 3 e encontrar uma base dentre os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 .

Passo 1

Pra mostrar que os vetores geram o I R 3 , a gente faz:

a 1,1 , 1 + b 1,2 , 3 + c 3,0 , 2 + d 2 , - 1,1 = ( x , y , z )

Vamos igualar os correspondentes agora:

a + b + 3 c + 2 d = x   ( 1 )

a + 2 b - d = y                       ( 2 )

a + 3 b + 2 c + d = z     ( 3 )  

Passo 2

De (1):

a = x - b - 3 c - 2 d

Substitui em ( 2 ) :

b = y - x + 3 c + 3 d

Substitui em (3):

d = z + x - 2 y - 5 c 5

Deixamos tudo em função de x , y ,   z   e   c pra ficar mais fácil de ver:

a = x - c - z + y

b =   - y + z - 2 c

d = z + x - 2 y - 5 c 5

Ou seja, quaisquer valores de x ,   y   e   z nessas condições satisfazem o sistema (o c veio de brinde). Logo, os vetores geram o I R 3 (e a ainda sobra...).

Passo 3

Como já mostramos que os vetores geram o I R 3 , precisamos de 3 vetores LI dentre os dados para criar uma base para ele...

Vamos pegar os vetores v 1 ,   v 2 e   v 3 pra ver:

a 1,1 , 1 + b 1,2 , 3 + c 3,0 , 2 = 0,0 , 0

a + b + 3 c = 0   ( 1 )

a + 2 b = 0                 ( 2 )

a + 3 b + 2 c = 0   ( 3 )

De (2):

a = - 2 b

Jogamos isso em (1):

- 2 b + b + 3 c = 0 → 3 c = b → c = b 3

Substituímos em ( 3 ) :

- 2 b + 3 b + 2 b 3 = 0

5 b 3 = 0 → b = 0

E daí, a = 0   e   c = 0 . Logo, os 3 vetores são LI e formam uma base para o I R 3 .

B = { v 1 , v 2 , v 3 }

Resposta

B = { v 1 , v 2 , v 3 }

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