Enunciado

Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

10) A 2,1 , 0 , B - 4 , - 2 , - 1 ,   C ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde a 1 , b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 são os vetores e x 0 , y 0 , z 0 é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

  • A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
  • Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos A 2 , 1,0 , B - 4 , - 2 , - 1 ,   C ( 0,0 , 1 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de A até B e outro indo de A até C :

A B - = B - A = - 4 , - 2 , - 1 - 2,1 , 0 = ( - 6 , - 3 , - 1 )

A C - = C - A = 0,0 , 1 - 2,1 , 0 = ( - 2 , - 1,1 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto A ( 2 , 1,0 ) e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Agora é só substituir:

x = 2 - 6 h - 2 t y = 1 - 3 h - t z = - h + t

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo 2 :

A B - = ( - 6 , - 3 , - 1 )

A C - = ( - 2 , - 1,1 )

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

A B - × A C - = i ^ j ^ k ^ - 6 - 3 - 1 - 2 - 1 1 = i ^ - 3 - 1 + j ^ 2 + 6 + k ^ ( 6 - 6 )

= ( - 4,8 , 0 )

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal a , b , c = ( - 4,8 , 0 ) e escolhendo o ponto A 2,1 , 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) podemos escrever a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 4 x - 2 + 8 y - 1 - 0 z - 0 = 0

- 4 x + 8 y + 8 - 8 + 0 = 0

E vou multiplicar por ( - 1 / 4 ) só para ficar mais bonitinho, mas é firula pessoal, pode deixar assim que também está certinho! Assim a equação geral do plano fica:

x - 2 y = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 2 - 6 h - 2 t y = 1 - 3 h - t z = - h + t

x - 2 y = 0

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Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r : 2 x = y = 3 z e paralela ao plano π : x - y - z + 2 = 0 .
Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s , nos casos: A 3 , - 2 , - 4 , π : 3 x - 2 y - 3 z + 5 = 0 , s : x = 2 + t , y = - 4 - 2 t
Dada a reta r : x = 3 + t , y = 1 - 2 t e z = - 1 + 2 t , determinar equações reduzidas das projeções de r sobre os planos x O y e x O z .