Enunciado

Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

8) A 0,0 , 0 , B 1,1 , 5 ,   C ( - 1,1 , 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde a 1 , b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 são os vetores e x 0 , y 0 , z 0 é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

  • A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
  • Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos A 0,0 , 0 , B 1,1 , 5 ,   C ( - 1,1 , 1 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de A até B e outro indo de A até C :

A B - = B - A = 1,1 , 5 - 0,0 , 0 = ( 1,1 , 5 )

A C - = C - A = ( - 1,1 , 1 ) - 0,0 , 0 = ( - 1,1 , 1 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto A ( 0,0 , 0 ) e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Agora é só substituir:

x = h - t y = h + t z = 5 h + t

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo 2 :

A B - = ( 1,1 , 5 )

A C - = ( - 1,1 , 1 )

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

A B - × A C - = i ^ j ^ k ^ 1 1 5 - 1 1 1 = i ^ 1 - 5 + j ^ - 5 - 1 + k ^ ( 1 + 1 )

( - 4 , - 6,2 )

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal a , b , c = ( - 4 , - 6,2 ) e escolhendo o ponto A 0,0 , 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) podemos escrever a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 4 x - 0 - 6 y - 0 + 2 z + 0 = 0

- 4 x - 6 y + 2 z = 0

E vou multiplicar por ( - 1 / 2 ) só para ficar mais bonitinho, mas é firula pessoal, pode deixar assim que também está certinho! Assim a equação geral do plano fica:

2 x + 3 y - z = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = h - t y = h + t z = 5 h + t

2 x + 3 y - z = 0

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Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: A ( 3 , - 2 , - 1 ) e r : x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0
Mostrar que as retas r 1 : 3 x - y - z = 0 8 x - 2 y - 3 z + 1 = 0 e r 2 : x - 3 y + z + 3 = 0 3 x - y - z + 5 = 0 São paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por essas retas
Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,z = 4 - 2 t , determinar:O ponto P’ simétrico de P(1,0,5) em relação a reta r 1
Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: A ( 1,2 , 1 ) e a reta interseção do plano x - 2 y + z - 3 = 0 com o plano y O z
Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,z = 4 - 2 t , determinar:O ponto O ' simétrico de O(0,0,0) em relação a reta r 2