Enunciado

O plano contém os pontos A ( 2 ,   1 ,   2 ) e B ( 1 ,   - 1 ,   4 ) e é perpendicular ao plano x O y .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir de um vetor dos pontos A e B (assim o plano vai obrigatoriamente conter esses dois pontos) fazer um produto vetorial entre esse vetor e o vetor normal ao plano x O y dado. Assim teremos um vetor normal ao plano que queremos equacionar que é perpendicular ao plano x O y e, juntando com um dos pontos dados, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo vetor A B → :

A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   4 - 2 ,   1 ,   2 = ( - 1 , - 2,2 )

E agora o vetor normal ao plano x O y . Podemos ter infinitos vetores, mas o mais fácil é o vetor diretor do eixo z , que é o vetor unitário k → = ( 0,0 , 1 ) .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

A B → × k → = i ^ j ^ k ^ - 1 - 2 2 0 0 1 = i → - 2 + 0 + j → 0 + 1 + k → ( 0 + 0 )

= - 2,1 , 0

Passo 3

Agora juntando o vetor normal - 2 , 1,0 com o ponto A 2 ,   1 ,   2 (poderia usar o ponto B também, sem problemas), podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 2 x - 2 + 1 y - 1 + 0 z - 2 = 0

- 2 x + 4 + y - 1 = 0

- 2 x + y + 3 = 0

Assim a equação do plano é - 2 x + y + 3 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

- 2 x + y + 3 = 0

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