Enunciado

Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,   z = 4 - 2 t , determinar:

  1. O ponto O ' simétrico de O(0,0,0) em relação a reta r 2

Passo 1

Vamos começar parametrizando a reta r 2

x = 2 - t y = - 1 + t z = 4 - 2 t

As equações já estão em função de t , temos que a nossa parametrização fica:

2 - t , - 1 + t , 4 - 2 t

2 , - 1,4 + t ( - 1 , 1 , - 2 )

Então nosso vetor v 1 → = ( - 1,1 , - 2 )

Passo 2

E o que seria esse ponto P ' simétrico de P em relação a reta r 1 ? é exatamente isso aqui:

No qual, o ponto A pertence a reta R, a distância de O até A é a mesma distancia de A até O’ e também, podemos afirmar que O A → ⋅ v 1 → = 0 , onde v 1 → é o vetor direção da reta r .

Como o ponto A pertence a reta, chamaremos ele de ( 2 - t , - 1 + t , 4 - 2 t )

Passo 3

Então temos que O A → ⋅ v 1 → = 0 , ou seja,

2 - t - 0 , - 1 + t - 0,4 - 2 t - 0 ⋅ - 1,1 , - 2 = 0

- 2 + t - 1 + t - 8 + 4 t = 0

6 t = 11

t = 1 1 6

O A → = 2 - 11 6 , - 1 + 11 6 , - 2 * 11 6

O A → = 1 6 , 5 6 , 1 3

E A = O A → = 1 6 , 5 6 , 1 3

Passo 4

Como O A = A O ' , temos que:

1 6 , 5 6 , 1 3 = O ' - 1 6 , 5 6 , 1 3

O ' = 1 3 , 5 3 , 2 3

Resposta

O ' = 1 3 , 5 3 , 2 3

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