Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

16) vértice: V ( 0 ,   0 ) ; simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P ( 2 ,   - 3 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é o eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) , onde V = ( 0 ,   0 ) :

- Se for o eixo dos y , a equação da parábola na forma reduzida é x 2 = 2 p y , o foco é dado por F h ,   p 2 e a equação da diretriz é dada por y = - p 2 .

- Se for o eixo dos x , a equação da parábola na forma reduzida é y 2 = 2 p x , o foco é dado por F p 2 , k e a equação da diretriz é dado por x = - p 2 .

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 0 ,   0 ) , logo:

V h , k = V 0 ,   0 ⇒ h = k = 0

Já temos os valores de h e k . Sabendo que eixo da parábola é o eixo dos y e passa pelo ponto P ( 2 ,   - 3 ) , podemos achar o valor de p e consequentemente a equação da parábola:

x 2 = 2 p y

2 2 = 2 p ( - 3 )

2 2 = p . - 6

p = - 4 6 ⇒ p = - 2 3

Logo, a equação da parábola vai ser dada por:

x 2 = 2 - 2 3 y

x 2 = - 4 3 y

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e uma equação da diretriz.

O foco vai ser dado por:

F h ,   p 2 ⇒ F 0 ,   - 2 3 2

F 0 ,   - 2 6 ⇒ F 0 ,   - 1 3

Já a equação da diretriz vai ser dada por:

y = - p 2 .

y = - - 2 3 2 = 1 3

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x 2 = - 4 3 y

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Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.31. y = x 2 4 - 2 x
Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.41. y 2 = - 4 x
Nos problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições:38. eixo de simetria paralelo a x=0 e passando pelos pontos A(0,0), B(1,-1) e C(3,-1).
Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.43. x + 4 2 = - 2 y - 1
Nos problemas 45 e 46, obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas.45. x = t + 1 y = t 2 3 - 2