Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

22) foco: F ( 4 ,   - 5 ) ; diretriz d : y = 1

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que F ( 4 ,   - 5 ) , e como a equação da diretriz é y = 1 , pelo nosso resumo, o eixo da parábola é o eixo dos y , logo:

F h , k + p 2 = F 4 , - 5

h = 4                       k + p 2 = - 5

Sabendo que d : y = 1 , temos:

y = k - p 2 ⇒ y = 1

k - p 2 = 1

Duas equações e duas incógnitas, montando um sisteminha, conseguimos achar os valores de p e k :

k + p 2 = - 5       ( - 1 ) k - p 2 = 1                             ⇒ - 2 p 2 = 6 ⇒ p = - 6

Substituindo p em uma das equações, temos:

k + - 6 2 = - 5 ⇒ k - 3 = - 5 ⇒ k = - 2

Assim, o vértice V vai ser dado por:

V h ,   k = V ( 4 , - 2 )

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos a equação da parábola.

A equação da parábola vai ser dada por:

x - h 2 = 2 p ( y - k )

x - ( 4 ) 2 = 2 - 6 y - ( - 2 )

x - 4 2 = - 12 y + 2

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

x 2 - 8 x + 16 = - 12 y - 24

x 2 - 8 x + 40 = - 12 y

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x - 4 2 = - 12 y + 2     o u     x 2 - 8 x + 40 = - 12 y

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