Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

25) vértice: V ( 4 ,   - 3 ) ; eixo paralelo ao eixo dos x , passando pelo ponto P ( 2 ,   1 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 4 ,   - 3 ) , logo:

V h , k = V 4 ,   - 3 ⇒ h = 4 ;   k = - 3

Já temos os valores de h e k . Sabendo que o eixo é paralelo ao eixo dos x e passa pelo ponto P x , y = P ( 2 ,   1 ) , podemos achar o valor de p e consequentemente a equação da parábola:

y - k 2 = 2 p x - h

1 - ( - 3 ) 2 = 2 p 2 - 4

4 2 = 2 p - 2

16 = - 4 p

p = - 4

Logo, a equação da parábola vai ser dada por:

y - - 3 2 = 2 - 4 x - 4

y + 3 2 = - 8 ( x - 4 )

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

y 2 + 6 y + 9 = - 8 x + 32

y 2 + 6 y - 23 = 5 x

Achamos a equação da parábola, mas precisamos do foco e de uma equação para construirmos o nosso gráfico. 😉

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e uma equação da diretriz.

O foco vai ser dado por:

F h + p 2 , k

F 4 + - 4 2 ,   - 3 ⇒ F 4 - 2 , - 3 ⇒ F ( 2 ,   - 3 )

Já a equação de uma diretriz vai ser dada por:

x = h - p 2

x = 4 - - 4 2 = 4 + 2 = 6

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

y + 3 2 = - 8 x - 4     o u     y 2 + 6 y - 23 = 5 x

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