Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

20) vértice: V ( 4 ,   1 ) ; diretriz d : y + 3 = 0

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 4 ,   1 ) , logo:

V h , k = V 4 ,   1 ⇒ h = 4 ;   k = 1

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que d : y + 3 , podemos achar o valor de p .

y = k - p 2

y + 3 = 0 ⇒ y = - 3

Igualando as equações, temos:

k - p 2 = - 3

1 - p 2 = - 3

- p 2 = - 4

p = 8

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e a equação da parábola.

O foco vai ser dado por:

F h , k + p 2

F 4 ,   1 + 8 2 ⇒ F 4 ,   1 - 4 ⇒ F ( 4 ,   5 )

Já a equação da parábola vai ser dada por:

x - h 2 = 2 p ( y - k )

x - ( 4 ) 2 = 2 8 y - 1

x - 4 2 = 16 y - 1

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

x 2 - 8 x + 16 = 16 y - 16

x 2 - 8 x + 32 = 16 y

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x - 4 2 = 16 y - 1     o u     x 2 - 8 x + 32 = 16 y

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40. Dada a parábola de equação y = - x 2 + 4 x + 5 , determinar:a) o vértice;b) as interseções com os eixos coordenados;c) o gráfico;d) o foco;e) uma equação da diretriz.
5.1. 4. Escreva as equações das seguintes parábolas: (b) O foco é F = (0, 0) e diretriz x + y = 2;
5.1. 4. Escreva as equações das seguintes parábolas: (a) O foco é F = (0, 2) e diretriz y = −2;
Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F = ( x 0 + p , y 0 ) e a reta diretriz r : x = x 0 - p é y - y 0 2 = 4 p ( x - x 0 ) .
Mostre que um espelho parabólico reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos: