Enunciado

(a) Verifique que a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, −1, 0) e paralela ao plano π : x + y + z = 0.

(b) Calcule a distância de r a π.

(c) Existem retas contidas no plano π, que são reversas à reta r e distam 2 desta?

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

  1. Olha só: para que essa reta seja paralela a esse plano, o vetor diretor dela tem que ser perpendicular ao vetor normal do plano.
  2. Vamos verificar isso fazendo o produto interno entre eles:

    v → = 1 , - , 1 ,   0           N → = ( 1,1 , 1 )

    v → ⋅ N → = 1 ⋅ 1 - 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 0

    Como o produto interno deu zero, concluímos que eles são perpendiculares. Logo, a reta é paralela ao plano.

    Passo 2

  3. Como a reta é paralela ao plano, podemos tomar um ponto qualquer da reta e jogar na fórmula da distância de um ponto a um plano.
  4. Tomemos o ponto ( 1,0 , 1 ) da reta.

    d r , π = | 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 | 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 3

    Essa é a distância da reta ao plano 😊

    Passo 3

  5. Não. Como a distância de r a π é 2 3 , qualquer reta reversa contida em π vai ter essa distância de r .

2 3 < 2

Resposta

  1. Sim.
  2. 2 3
  3. Não.

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