Enunciado

Verificar se a reta r está contida no plano pi :

  1. r : {[[y = 2 h + 1],[z = 2 x - 1]]) e pi : 2 x + y - 3 z - 4 = 0

Passo 1

Belezoca galerinha, o enunciado nos deu a reta:

r : {[[y = 4 x + 1],[z = 2 x - 1]])

E o plano pi : 2 x + y - 3 z - 4 = 0 , e pediu pra gente verificar se a reta r está contida no plano pi . Pra começar, podemos escrever a reta em termos vetoriais, tal que:

r = (1 , 4 , 2) x + (0 , 1 , - 1)

Se x = t , então:

r = (1 , 4 , 2) t + (0 , 1 , - 1)

Isso quer dizer que o vetor diretor da reta é (1 , 4 , 2) .

Belezoca, agora a condição pra que essa reta pertença ao plano pi é que o ponto (0 , 1 , - 1) esteja no plano junto com o vetor (1 , 4 , 2) .

Passo 2

Iradoso, então veriricando se o ponto pertence ao plano pi , fazemos:

2 (0) + ( 1 ) - 3 (- 1) - 4 = 0

4 - 4 = 0

0 = 0

Logo, o ponto pertence ao plano. Agora pra gente verificar se o vetor diretor pertence ao plano a gente pode ser malandra e verificar se na verdade ele é perpendicular ao vetor normal do plano. Isto é, se ele for perpendicular ao vetor normal do plano, quer dizer que necessariamente ele vai estar no plano gerado pelos vetor de pi .

Pra gente verificar isso, precisamos lembrar que o vetor normal do plano é:

pi : 2 x + y - 3 z - 4 = 0 -> (2 , 1 , - 3)

De modo que pra serem perpendiculares, precisamos que o produto escalar entre eles seja nulo, tal que:

(2 , 1 , - 3) * (1 , 4 , 2) = 0

Fazendo a conta, obtemos que:

2 + 4 - 6 = 0

0 = 0

Portanto, os vetores são perpendiculares, de modo que a reta r está contida no plano pi .

Resposta

Sim, está contida.

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