Enunciado

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(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em ( - ∞ ,   ∞ ) .

  1. Encontre uma transformação linear T : V → W cujo núcleo seja P 3 .
  2. Encontre uma transformação linear T : V → W cujo núcleo seja P n .

Passo 1

Show de bola galera, como estamos falando do núcleo da transformação, queremos que P 3   e   P n sejam um vetor x → tal que T x → = 0 → . Ou seja, como temos dois polinômios que são funções reais com derivadas contínuas temos que aplicar uma transformação que torne esse polinômio em 0 . De acordo com o cálculo eu sei que cada derivada que aplico no polinômio eu diminuo um grau dele, e quando eu derivo uma constante ela dá 0 . Logo o segredo aqui é a gente aplicar uma transformação que derive o nosso polinômio até chegarmos em 0 .

Passo 2

Na letra (a) temos o polinômio P 3 de grau 3, logo se derivarmos 3 vezes, vamos chegar em uma constante, e se derivarmos mais uma vez essa constante, vamos chegar em 0 . Isso quer dizer que a transformação linear que realiza uma sequência de 4 derivadas possui P 3 como núcleo. Portanto temos que

T f ( x ) = f 4 ( x )

Onde f 4 é quarta derivada da função f ( x ) .

Passo 3

Na letra (b) temos o mesmo raciocínio que na (a), só que agora nosso polinômio pertence a P n , isto é, ele tem grau n , e como no exercício anterior precisamos derivar 3 + 1 vezes o polinômio P 3 , agora em P n precisamos derivar n vezes pra chegar em uma constante e mais 1 vez pra fazermos a constante chegar em 0 . Logo a operação que deriva o polinômio de grau n , f ( x ) , n + 1 vezes possui o espaço P n como núcleo. Portanto

T f ( x ) = f ( n + 1 ) ( x )

Onde f n + 1 é a operação que deriva n + 1 vezes a função f ( x ) .

Resposta

  1. T f x = f 4 x
  2. T f ( x ) = f ( n + 1 ) ( x )

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