Enunciado

8. Provar que p r o j g λ u = λ   p r o j g u e que p r o j λ g u = p r o j g u   λ ≠ 0 .

Passo 1

Aqui vamos precisar de um axioma lá da definição de produto interno:

α u , v = α u , v

E da fórmula de projeção...

p r o j g u = u , g g , g g

Passo 2

Vamos provar a primeira:

p r o j g λ u = λ u , g g , g g

Usando o axioma:

= λ u , g g , g g

Que nada mais é que:

= λ   p r o j g u

Portanto,

p r o j g λ u = λ   p r o j g u

Como queríamos provar.

Passo 3

Agora a outra:

  p r o j λ g u = u , λ g λ g , λ g λ g

Usando o axioma:

= λ u , g λ 2 g , g λ g

Aqui que é necessário o λ ≠ 0 , pra não dividir por zero.

= u , g g , g g

Que nada mais é que:

= p r o j g u

Portanto:

p r o j λ g u = p r o j g u   λ ≠ 0

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração.

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1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
4. Calcular p r o j gu nos seguintes casos: u = 1,2 , 1,4 e g = 4,0 , 0,1 ; u = 1,1 , 1,1 e g = 2,2 , 2,2 ; u = 4,3 , 5,2 , 5 e g = 1,1 , 1,1 , 1 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;
3. Provar que u , u = 0 se, e somente se, u = 0 , … , 0 .