Enunciado

5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos:

  1. u = 3,1 , 2,2 ;
  2. u = 1,2 , 1,1 ;
  3. u = 0,0 , 0,1 .

Passo 1

c) Bem... esse exercício é pura aplicação de fórmula, ne...

A fórmula de projeção: (aqui é a projeção sobre um sub-espaço gerado por vetores dados)

p r o j W u = u , v v , v v + u , w w , w w + …

ATENÇÃÃÃO: no meio do capítulo ele usa outra fórmula (que não tem a parte de baixo da divisão), mas é porque ele não explica tããão bem que aquela fórmula é só pra vetores que ortonormais (a norma deles é igual a 1), o que não é o caso aqui, né...

E os produtos internos:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v 4

v , v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + v 4 2

Passo 2

Substituindo agora pelos nossos valores.

p r o j W u = u , u 1 u 1 , u 1 u 1 + u , u 2 u 2 , u 2 u 2 + u , u 3 u 3 , u 3 u 3

Fazendo os váááários produtos internos:

u , u 1 = 0 1 + 0 2 + 0 0 + 1 1

u , u 1 = 1

u 1 , u 1 = 1 2 + 2 2 + 0 2 + 1 2

u 1 , u 1 = 6

u , u 2 = 0 2 + 0 - 1 + 0 0 + 1 0

u , u 2 = 0

u 2 , u 2 = 2 2 + - 1 2 + 0 2 + 0 2

u 2 , u 2 = 5

u , u 3 = 0 0 + 0 0 + 0 1 + 1 0

u , u 3 = 0

u 3 , u 3 = 0 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2

u 3 , u 3 = 1

Agora é só substituir.

p r o j W u = 1 6 u 1 + 0 u 2 + 0 u 3

p r o j W u = 1 6 u 1

Resposta

p r o j W u = 1 6 u 1

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8. Provar que p r o j g λ u = λp r o j g u e que p r o j λ g u = p r o j g uλ ≠ 0 .
2. Provar que u , λ v = λ u , v = λ u , v ,∀λ ∈ R e ∀u , v ∈ R n .
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;