Enunciado

5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos:

  1. u = 3,1 , 2,2 ;
  2. u = 1,2 , 1,1 ;
  3. u = 0,0 , 0,1 .

Passo 1

b) Bem... esse exercício é pura aplicação de fórmula, ne...

A fórmula de projeção: (aqui é a projeção sobre um sub-espaço gerado por vetores dados)

p r o j W u = u , v v , v v + u , w w , w w + …

ATENÇÃÃÃO: no meio do capítulo ele usa outra fórmula (que não tem a parte de baixo da divisão), mas é porque ele não explica tããão bem que aquela fórmula é só pra vetores que ortonormais (a norma deles é igual a 1), o que não é o caso aqui, né...

E os produtos internos:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v 4

v , v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + v 4 2

Passo 2

Substituindo agora pelos nossos valores.

p r o j W u = u , u 1 u 1 , u 1 u 1 + u , u 2 u 2 , u 2 u 2 + u , u 3 u 3 , u 3 u 3

Fazendo os váááários produtos internos:

u , u 1 = 1 1 + 2 2 + 1 0 + 1 1

u , u 1 = 6

u 1 , u 1 = 1 2 + 2 2 + 0 2 + 1 2

u 1 , u 1 = 6

u , u 2 = 1 2 + 2 - 1 + 1 0 + 1 0

u , u 2 = 0

u 2 , u 2 = 2 2 + - 1 2 + 0 2 + 0 2

u 2 , u 2 = 5

u , u 3 = 1 0 + 2 0 + 1 1 + 1 0

u , u 3 = 1

u 3 , u 3 = 0 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2

u 3 , u 3 = 1

Agora é só substituir.

p r o j W u = 6 6 u 1 + 0 5 5 u 2 + 1 1 u 3

p r o j W u = u 1 + u 3

Resposta

p r o j W u = u 1 + u 3

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7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b →
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4. Calcular p r o j gu nos seguintes casos: u = 1,2 , 1,4 e g = 4,0 , 0,1 ; u = 1,1 , 1,1 e g = 2,2 , 2,2 ; u = 4,3 , 5,2 , 5 e g = 1,1 , 1,1 , 1 .
7. Provar que p r o j g u 1 + u 2 = p r o j g u 1 + p r o j g u 2 . Fazer a figura.
6. Calcular a projeção do vetor x , y , z ∈ R 3 sobre o sub-espaço gerado por 1,0 , 0 e 0,1 , 0 . Fazer uma figura.