Enunciado

3. Provar que u , u = 0 se, e somente se, u = 0 , … , 0 .

Passo 1

Calma calma... não se desepera com o “provar”... vamos fazer juntos.

Nessa questão temos uma peculiaridade que é o “se, e somente se”. Dizem por aí que temos quer provar a ida e a volta... Em outra palavras, pra esse problema, temos que provar duas coisas:

i) Se u , u = 0 , então u = 0 , … , 0 ;

ii) Se u = 0 , … , 0 , então u , u = 0 .

Parece um pouco complicado, mas é super de boa.

Passo 2

i) Vamos começar provando a “ida”. Vamos tomar um vetor u teórico:

u = u 1 , u 2 , … u n

Fazendo o produto interno:

u , u = u 1 2 + u 2 2 + … + u n 2

Repare que temos número elevados ao quadrado (isso nos garante que eles são sempre positivos ou zero) e só temos sinais de mais (+)... Então a única forma de:

u , u = u 1 2 + u 2 2 + … + u n 2 = 0

É se:

u 1 = u 2 = … = u n = 0

Que é o u = 0 , … , 0 .

Passo 3

ii) Agora provando a “volta”.

Se temos o vetor:

u = 0 , … , 0

Então o produto interno:

u , u = 0 0 + … + 0 0

u , u = 0

Como queríamos provar.

Viu como não é tão complicado?

Resposta

Demonstração

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1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
10. Provar que p r o j g u ≤ u , para todo vetor u. Quanto vale a igualdade?
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
9. Pelos exercícios 7 e 8 a função u↦ p r o j g u é uma transformação linear de R n em R n . Quais são seu núcleo o e sua imagem?