Enunciado

2. Provar que u , λ v = λ u , v = λ u , v ,   ∀   λ ∈ R e ∀   u , v ∈ R n .

Passo 1

Putz... uma questão pra provar, mas calmaaa... Vamos fazer juntos e você vai ver que não é de outro mundo.

E você pode estar se perguntando: qqqqqq esse “A” de cabeça pra baixo? Ele significa “para todo”... então temos : “para todo lambda pertencente aos reais”...

Passo 2

Vamos tomar vetores u e v no R n :

u = u 1 , u 2 , … , u n

v = v 1 , v 2 , … , v n

Se a gente multiplica um vetor por um escalar ( λ no caso), ficamos com:

λ u = λ u 1 , λ u 2 , … , λ u n

λ v = λ v 1 , λ v 2 , … , λ v n

Passo 3

Vamos fazer os benditos produtos internos:

i)

u , λ v = u 1 λ v 1 + u 2 λ v 2 + … + u n λ v n

u , λ v = λ u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

ii)

λ u , v = λ u 1 v 1 + λ u 2 v 2 + … + λ u n v n

λ u , v = λ u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

iii)

λ u , v = λ u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

Então, de i), ii) e iii), podemos concluir que:

u , λ v = λ u , v = λ u , v

Como queríamos provar.

Resposta

u , λ v = λ u , v = λ u , v

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