Enunciado

Prove que, se u → ⋅ v → = 0 e u → ∧ v → = 0 → , então u → = 0 → ou v → = 0 → . Interprete geometricamente.

Passo 1

Essa aqui é bem interessante!

Sabemos que se um produto escalar é nulo:

θ = 0 °               o u               u → = 0               o u                 v → = 0

Já o produto vetorial é nulo se

θ = 90 °                 o u                 u → = 0                 o u               v → = 0

Como as condições θ = 0 ° e θ = 90 ° não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo, devemos ter

u → = 0               o u               v → = 0

Que é equivalente a

u → = 0 →             o u             v → = 0 →

Passo 2

A interpretação geométrica é bastante simples: dois vetores não nulos não podem ser, simultaneamente, paralelos e perpendiculares. Isso ocorre pois o produto escalar se anula para vetores perpendiculares e o vetorial se anula para vetores paralelos.

Resposta

Demonstração.

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Determine a área do paralelogramo ABCD cujas diagonais são A C → = 0,2 , 3 e B D → = - 2,4 , 1 .
Sendo u → = - 1,1 , m ,v → = 7,5 , 1ew → = a , b , c , pede-se:O valor de m para que a equação v → = u → ^ w → possa ter solução;Para o valor de m encontrado em a), resolva a equação v → = u → ^ w → ,
Dados u → = ( 1,2 , - 1 ) e v → = ( 1,3 , - 2 ) , determine um vetor a → , ortogonal a u → e a v → , de módulo 3 e que forma com k → um ângulo obtuso.
Sejam O A → = 1,3 , - 1 ,O B → = 0,2 , - 1 eO C → = 3,4 , 2 .Calcule a área do triângulo ABC.Determine um vetor x → , de módulo 1, perpendicular ao plano ABC. Desenhe um representante de x → . Desenha
Ache um vetor de módulo 1 ortogonal a (2,1,2) e (1,2,-1).