Enunciado

Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .

d) r : x - y = 1 x - 2 y = 0                               π : x + y = 2

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a reta r :

x - y = 1 x - 2 y = 0  

Da primeira equação, temos

x = y + 1

Como x = y + 1 , sabemos que a reta passa, por exemplo, por ( 2 ,   1 ,   z )

x ,   y ,   z = ( 2 ,   1 ,   z )

x ,   y ,   z = 2 ,   1 ,   0 + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 2

O vetor diretor de r é ( 0 ,   0 ,   1 ) . Vamos usar a proposição 14-21 do seu livro para vermos se esse vetor é paralelo ao plano:

0 + 0 = 0

Opa, então, como a igualdade é verdadeira, o vetor diretor da reta é paralelo ao plano, e, consequentemente, a reta também.

Passo 3

Um ponto genérico da reta é ( 2 ,   1 ,   λ ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano pra vermos se a reta está contida no plano ou é apenas paralela a ele:

2 + 1 = 2

3 = 2

Poxa, mesmo com o λ sumindo da equação (pois não temos coeficiente em z ), chegamos em uma desigualdade, logo, a equação não é verdadeira e r não está contida no plano, é apenas paralela.

Resposta

d) Paralelos.

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Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - 2 y - z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - z - 7 = 0
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π π : x = - 2 + t y = 3 - 2 t z = 2 t e r : m x + 2 y - 3 z + n = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : y = x - 10 z = - x + 1 e π : 2 x - y + 3 z - 9 = 0
Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:O ponto de interseção de r com π ;
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - 2 z - 4 = 0