Enunciado

Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse ponto, conhecido como incentro do triângulo, é interior a ele.

Passo 1

Bora lá!

Primeiro, vamos fazer um esboço do nosso triângulo, onde o ponto I é o incentro dele

Galera, já adianto que essa é uma questão nível hard, mas vamos matar ela como os nossos “pulos do gato”. 😉

Passo 2

Para que A I → ,   B I → e C I → sejam vetores diretores das bissetrizes internas de um triângulo, devem atender as seguintes condições:

Agora vem o primeiro “pulo do gato”.

Existe um ponto comum I às bissetrizes internas do triângulo ABC, SE, E SOMENTE SE,

∄ γ ∈ R : A I → = γ B I →   e   ∄ σ ∈ R : A I → = σ C I →

Ou seja, os vetores não podem ser múltiplos (paralelos).

Passo 3

Inicialmente, vamos provar a primeira asserção.

Como γ e α são contantes arbitrárias, fazemos γ α = δ (nosso segundo “pulo do gato”) e vamos provar que não existe um valor de δ para que torne válida a igualdade.

Como B C → = B A → + A C → , podemos reescrever da seguinte maneira

Passo 4

Beleza... acabamos de fazer um monte de conta, mas para que?

Vamos recapitular o que o nosso exercício quer?

“Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse ponto, conhecido como incentro do triângulo, é interior a ele.”

Notem, que forem encontrados valores distintos para δ , certo? Então por redução ao absurdo, conclui-se que NÃO EXISTE δ que torne a asserção verdadeira. Portanto, A I → e B I → são concorrentes e interceptam-se no ponto I , o incentro.

De maneira análoga, A I → e C I → também são concorrentes.

Pelas condições que adotamos inicialmente para que as retas A I - ,   B I -   e   C I - sejam dissetrizes, nota-se que os vetores A I → ,   B I →   e   C I → são múltiplos das somas de vetores diretores unitários dos lados do triângulo, portanto, a resultante dessa soma, certamente, apontará para o interior do triângulo. Daí, podemos concluir que I está no interior do triângulo ABC.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja P : a projeção ortogonal sobre a reta y = 3x. Dado o vetor u = (2, 5), determine x de tal modo que, pondo v = (x, 10), tenha-se Pv = Pu.
Três vetores u, v, w têm o mesmo comprimento e cada um deles forma com o seguinte um ângulo de 120°. Se u = (5, 7), quais são as coordenadas de v e w?
Seja f uma função que faz correspondente a cada par de vetores v = ( a 1 ,b 1 ) , w = ( a 2 ,b 2 ) um numero real f v , w . (Noutras palavras tem-se uma função f :R 2xR 2 → R ). Suponha que f tem as s
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