Enunciado

Seja A uma matriz 2x2. Dizemos que uma reta pela origem de R 2 é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R 2 que são invariantes pela matriz dada.

A = 4 - 1 2 1

Passo 1

Bom, para resolvermos essa questão precisamos entender alguns conceitos. Os vetores Ax e x estarão sempre na mesma linha passando pela origem, se e apenas se, existir um autovalor real, que respeite a seguinte condição,

A x = λ x

Sabendo disso, agora temos que encontrar os autovalores da matriz A. Uma possibilidade para isso é encontrarmos a equação característica e depois as suas raízes, como já fizemos em algumas outras questões.

A equação característica da seguinte matriz será,

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Dessa Forma,

λ 1 = 2 ;   λ 2 = 3

Passo 2

Agora para concluirmos, temos que encontrar as bases nos autoespaços associados a cada um dos autovetores,

4 - λ - 1 2 1 - λ * x 1 x 2 =   0 0

Resposta

Para λ = 2 e λ = 3 , teremos as seguintes bases associada, respectivamente,

1 2 e 1 1

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Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. - 1 0 1 - 1 3 0 - 4 13 - 1
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Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção. - 1 / 3 0 0 - 1 / 3 0 0 0 0 00 00 1 0 0 1 / 2
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