Enunciado

Prove que qualquer reta tangente a uma hipérbole separa os focos.

Passo 1

Considerando uma equação de hipérbole igual a

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

E considerando a equação de tangente igual a:

h x a 2 - k y b 2 = 1

E considerando os focos em posições iguais a:

F 1 = - c , 0 ; F 2 = ( c , 0 )

Em y = 0 a equação da reta tangente terá um x igual a:

x = a 2 h

E queremos provar se esse valor de x está com um valor entre o valor de x dos focos.

Passo 2

E por termos uma hipérbole então:

c 2 = a 2 + b 2

Como queremos saber se a posição x está entre - c e c então teremos que observar que x < | c | então:

O valor de h por ser um ponto de tangência horizontal então certamente h ≥ | a | , logo

x ≤ a 2

E como a < c , logo obrigatoriamente x < | c | , portanto para qualquer reta tangente a hipérbole (que segue a equação de tangência dada no passo 1) a reta cortará os focos

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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