Enunciado

Prove que:

  1. Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade).

Passo 1

Primeiro, vamos começar pela definição de equivalência por linhas:

Uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se B pode ser obtida aplicando-se operações elementares sobre as linhas da matriz A.

Passo 2

Se temos uma matriz A qualquer:

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Podemos aplicar a operação elementar de multiplicação das linhas pelo escalar 1:

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ,   L 1 → 1 L 1  

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ,   L 2 → 1 L 2  

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ,   L n → 1 L n  

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Como foi visto, a matriz obtida depois da aplicação de operações elementares é a própria matriz A. Dessa forma, ela é equivalente por linhas a ela mesma.

Resposta

Para provar, basta multiplicar as linhas da matriz pelo escalar 1.

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
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Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²