Enunciado

Prove o teorema 13.3 . 5 .

Passo 1

O teorema diz o seguinte:

Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem e lambda um número.

i ) ||A|| = 0 , se, e somente se A = 0

i i ) ||A + B|| <= ||A|| + ||B||

i i i ) ||lambda A|| = |lambda| ||A||

Então bora ver cada um deles! Vamos provar todas essas paradas pra uma matriz de ordem m xx n , beleza?

Passo 2

i ) ||A|| = 0 , se, e somente se A = 0

Ó, primeiro a volta, que é mais fácil: se a matriz é nula, todas as linhas têm a mesma soma dos módulos dos elementos, certo? Como são todos iguais a 0 , então ||A|| = 0 . Beleza! Agora vamos provar a ida. A soma dos módulos dos elementos da maior linha, que vamos dizer que é a linha k , é:

||A|| = |a_k 1| + |a_k 2| + ... + | a_k n |

Essa soma deu 0 , mas como que pode uma soma de módulos ser 0 ? Só se forem todos 0 , porque menor que isso não fica! Então,

a_k 1 = a_k 2 = ... = a_k n = 0

E como essa é a linha com a maior soma, todas as outras teriam que ter uma soma menor ou igual a essa, mas não dá pra ser menor que 0 , então só pode ser igual! Por isso, todas as linhas só tem elementos nulos. Assim, A = 0 . Fechou!

Passo 3

i i ) ||A + B|| <= ||A|| + ||B||

Vamos dizer que a linha com a maior soma dos módulos em A é a linha p , e em B é a linha q , beleza? Enquanto isso, na matriz A + B , a maior vai ser a linha k .

||A + B|| = |a + b|_k 1 + |a + b|_k 2 + ... + |a + b|_k n

Só que pela desigualdade dos números:

||A + B|| <= |a|_k 1 + |b|_k 1 + |a|_k 2 + |b|_k 2 + ... + |a|_k n + |b|_k n

Rearrumando:

||A + B|| <= |a|_k 1 + |a|_k 2 + ... + |a|_k n + |b|_k 1 + |b|_k 2 + ... + |b|_k n

Só que essa soma de módulos dos a ’s e dos b ’s não pode ser maior que a soma dos módulos da linha p e da linha q , porque são eles os maiores! Então:

||A + B|| <= |a|_p 1 + |a|_p 2 + ... + |a|_p n + |b|_q 1 + |b|_q 2 + ... + |b|_q n

||A + B|| <= ||A|| + ||B||

Show!

Passo 4

i i i ) ||lambda A|| = |lambda| ||A||

Abrindo esse lado esquerdo:

||lambda A|| = |lambda a_k 1| + |lambda a_k 2| + ... + |lambda a_k n|

Botando em evidência em cada termo:

||lambda A|| = |lambda| |a_k 1| + |lambda| |a_k 2| + ... + |lambda| |a_k n|

||lambda A|| = |lambda| (|a_k 1| + |a_k 2| + ... + |a_k n|)

E assim,

||lambda A|| = |lambda| ||A||

Como a gente queria!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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