Enunciado

Prove: se a transformação matricial T A   :   R n   →   R n for injetora, então A é invertível.

Passo 1

Vamos lembrar que:

i   u m a   m a t r i x   n x n   é   i r r e v e r s í v e l

i i   S e   T A   e s t á   c o n t i d a   n o   R n   é   i r r e v e r s i v e l

Como T A é injetora, a mesma só tem uma imagem.

A n x n , n = n u m e r o   d e   c o l u n a s .

O numero de linhas é o numero de imagens não nulas na imagem.

Logo o número de linhas = n .

Assim A   é   u m a   m a t r i z   n x n ,   a s s i m   s e n d o   i r r e v e r s í v e l .  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 4 x 1 - 6 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma reflexão no eixo y em R 2