Lista de Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz
Considere as seguintes afirmações:
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
Ver solução completaSeja uma matriz com linhas e colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:
- Se , então as colunas são
- Se , então o núcleo de contém uma reta.
- Se é injetiva e é a sua forma escalonada, então é injetiva.
Considere as seguintes afirmações:
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
Ver solução completaIndique qual vetor tem que ser acrescentado à lista para se obter uma base do núcleo da matriz
Nenhum vetor, já é uma base.
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Um sistema linear da forma possui uma solução particular e o sistema homogêneo associado tem o conjunto solução Assinale o vetor que não é solução de S:
(a) (2, 2, 4)
(b) (2, 3, 4)
(c) (3, 7, 8)
(d) (1, 1, 2)
Ver solução completaSeja uma matriz :
Se é injetiva, então é injetiva
Se é injetiva, então é injetiva
(a) é verdadeira e é falsa
(b) Ambas são falsas
(c) Ambas dão verdadeiras
(d) é falsa e é verdadeira
Ver solução completaQual dos vetores abaixo pode ser acrescentado ao conjunto para se obter uma base do núcleo da matriz ?
(a) Nenhum vetor, já é base.
(b) (2,1,0,1)
(c) (1,0,1,0)
(d) (1,2,1,0)
Ver solução completaSeja A uma matriz . Considere as afirmações:
(I) Se então A é necessariamente injetiva.
(II) Se A é injetiva, então .
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Ver solução completaSejam A e B matrizes tais que o produto AB está definido. Considere as afirmações:
(I) Se , então é subespaço de .
(II) contém .
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Ver solução completaConsidere as afirmações abaixo:
(I) Considere um sistema linear que não admite solução e seja a matriz aumentada desse sistema. Então
(II) Se o sistema tem solução única, então A é injetiva.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Ver solução completaSeja uma matriz cujo núcleo tem como base . Sabendo que é solução de para um certo , uma outra solução do mesmo sistema é dada por:
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Seja uma matriz e uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:
- A dimensão do núcleo de é igual à dimensão do núcleo de .
- O núcleo de é igual ao núcleo de .
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ambas são falsas.
Ambas são verdadeiras.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ver solução completaSeja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de é um conjunto infinito
II - Uma das colunas de é gerada pelas demais
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são verdadeiras
(c) Ambas são falsas
(d) I é falsa e II é verdadeira
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