Lista de Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Seja A = 1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 .

Então a dimensão do núcleo de A é igual a:

a 1

b 2

c 0

d 3

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Considere as seguintes afirmações:

I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então a dimensão do núcleo de B é zero.

I I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então as colunas de B são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Ache o núcleo da matriz

A = 1 0 1 1 2 0 1 2 3

E decide se a matriz é ou não injetiva.

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Seja A uma matriz com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:

  1. Se m > n , então as colunas são L I
  2. Se m < n , então o núcleo de A contém uma reta.
  3. Se A é injetiva e U é a sua forma escalonada, então U é injetiva.

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Considere as seguintes afirmações:

I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então a dimensão do núcleo de B é zero.

I I Sejam A e B matrizes tal que o produto A B está definido. Se A B é injetiva, então as colunas de B são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Seja A = 1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 .

Então a dimensão do núcleo de A é igual a:

a 1

b 2

c 0

d 3

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Indique qual vetor tem que ser acrescentado à lista 1 , 2 , - 3,0 , 2,1 , 0 , - 3 para se obter uma base do núcleo da matriz

A = 1 1 1 1 2 2 2 2

a   - 1,1 , 3 , - 3

b   Nenhum vetor, já é uma base.

c   1 , - 1,3 , - 3

d   2 , - 1,3 , - 3

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Um sistema linear da forma S :   A x →   = b →   possui uma solução particular x → p   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) , e o sistema homogêneo associado tem o conjunto solução N A =   1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 .   Assinale o vetor que não é solução de S:

(a) (2, 2, 4)

(b) (2, 3, 4)

(c) (3, 7, 8)

(d) (1, 1, 2)

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Assinale o conjunto que é uma base para o núcleo da matriz 1 1 2 2 3 3 4 4 :

(a) { ( 1 ,   - 1 ) }

(b) { 1 ,   0 ,   ( 0 ,   1 ) }

(c) { 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   0 ) ,   ( 0 ,   0 ,   0 ,   1 ) }

(d) { ( - 2 ,   1 ,   0 ,   0 ) ,   ( - 3 ,   0 ,   1 ,   0 ) ,   ( - 4 ,   0 ,   0 ,   1 ) }

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Seja A uma matriz m × n :

I - Se A é injetiva, então A T A é injetiva

I I - Se A T A é injetiva, então A T é injetiva

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) I é falsa e I I é verdadeira

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Seja A   4 × 4 tal que N A - I = 2,0 , 1,0 , ( 0,3 , 0,2 ) e N A + I = 5,0 , 3,0 , ( 0,4 , 0,3 ) . As entradas da diagonal de A , a 11 ,   a 22 ,   a 33 e a 44 , são:

(a) 7 ,   10 ,   - 7 ,   e - 10

(b)   11 ,   17 ,   - 11 e - 17

(c) 5 ,   8 ,   - 5 e - 8

(d)   3 ,   3 ,   2 e 3

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Qual dos vetores abaixo pode ser acrescentado ao conjunto β = { 1,1 , 0,0 , 0,1 , 1,0 } para se obter uma base do núcleo da matriz ?

(a) Nenhum vetor, β já é base.

(b) (2,1,0,1)

(c) (1,0,1,0)

(d) (1,2,1,0)

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Seja A uma matriz m × n . Considere as afirmações:

(I) Se m ≥ n , então A é necessariamente injetiva.

(II) Se A é injetiva, então m ≥ n .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Sejam A e B matrizes tais que o produto AB está definido. Considere as afirmações:

(I) Se A B = 0 , então I m ( B ) é subespaço de N u c ( A ) .

(II) N u c ( A B ) contém N u c ( B ) .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Considere as afirmações abaixo:

(I) Considere um sistema linear A x = b que não admite solução e seja B = A b a matriz aumentada desse sistema. Então dim ⁡ I m B = dim ⁡ I m A .

(II) Se o sistema A x = 2 , - 1,3 T tem solução única, então A é injetiva.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Seja A uma matriz 4 × 4 cujo núcleo tem como base β = 1,1 , 0,1 , 1,1 , 1,0 . Sabendo que v = 1 , 2,0 , - 1 é solução de A v = b para um certo b , uma outra solução do mesmo sistema é dada por:

( a ) 1,2 , 0,1

( b ) 1,2 , - 1,0

( c ) 1,2 , 1 , - 1

( d ) 1,2 , 0,0

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Seja A = 1 2 3 3 2 1 a 4 10 . Assinale o valor de a para que o núcleo de A tenha dimensão igual a 1 .

a   2

b - 2

c   4

d - 4

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Sejam A = 1 2 3 4 1 2 4 3 e B = 1 2 5 4 1 2 4 4 . Defina H = N A ∩ N B (interseção do núcleo de A com o núcleo de B ). A dimensão de H é:

a   1

b   0

c   2

d   3

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Seja A uma matriz e R uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. A dimensão do núcleo de A é igual à dimensão do núcleo de R .
  2. O núcleo de A é igual ao núcleo de R .

a   A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

b   Ambas são falsas.

c   Ambas são verdadeiras.

d   A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

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Seja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de A é um conjunto infinito

II - Uma das colunas de A é gerada pelas demais

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e II é verdadeira

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