Enunciado

Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que   A B → = 2 ,   3 ,   1 e   A C → = ( - 1 ,   3 ,   1 ) .

a) Verifique que A , B e C são vértices de um triângulo.

b) Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A e a área do triângulo A B C .

Passo 1

O exercício forneceu dois vetores e no item (a) temos que ver se eles formam um triângulo. Para que os pontos A , B e C sejam vértices de um triângulo, os vetores   A B → e   A C → devem ser LI.

Note que os vetores A B → = 2 ,   3 ,   1 e   A C → = ( - 1 ,   3 ,   1 ) não são paralelos, de modo que são LI. Desta forma, vemos que os três pontos são vértices de um triângulo.

Passo 2

Para resolver o item (b), vamos usar a figura:

Nosso objetivo é procura o vetor  A D → , que representa a altura relativa ao vértice A . Sabemos que

A C → = A D → + p r o j C B →     A C →

O vetor   C B → é dado por:

C B → = C A → + A B → = A B → - A C → = 2 ,   3 ,   1 - - 1 ,   3 ,   1 = ( 3 ,   0 ,   0 )

Vamos calcular a projeção:

p r o j C B →     A C → = A C → ⋅ C B → C B → 2   C B → = - 1 ,   3 ,   1 ⋅ ( 3 ,   0 ,   0 ) 3 2   3 ,   0 ,   0 = - 3 9   3 ,   0 ,   0 = ( - 1 ,   0 ,   0 )

Assim,

A C → = A D → + p r o j C B →     A C → ⇒ - 1 ,   3 ,   1 = A D → + ( - 1 ,   0 ,   0 )

Portanto,

A D → = - 1 ,   3 ,   1 - - 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   3 ,   1 )

Passo 3

O comprimento da altura é a norma do vetor   A D → :

h = A D → = 3 2 + 1 2 = 4 = 2

Para achar a área, basta lembrar que

A = b a s e ⋅ a l t u r a 2

Nessa caso, a base é a norma do vetor   C B → , que é 3 :

A = 3 ⋅ 2 2 = 3

Resposta

h = 2

A = 3

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