Enunciado

Prove que:

a) 4 u → ⋅ v → = u → + v → 2 - u → - v → 2

b) u → ⋅ v → = 0 ⇔ u → + v → = u → + v →

c) as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelograma é um retângulo.

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos usar as seguintes relações:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v →

u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 u → ⋅ v →

Essas relações foram mostradas no exercício resolvido 9-11.

Assim, o item (a) é imediato:

u → + v → 2 - u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v → - u → 2 + v → 2 - 2 u → ⋅ v →

Portanto,

u → + v → 2 - u → - v → 2 = 2 u → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → = 4 u → ⋅ v →

Provamos assim o item (a)!

Passo 2

Para o item (b) nós usamos o resultado do item (a). Como a norma de qualquer vetor é não negativa, vale

u → + v → = u → - v → ⟺ u → + v → 2 = u → - v → 2 ⟺ u → + v → 2 - u → - v → 2 = 0

Mas usando o resultado do item (a):

u → + v → 2 - u → - v → 2 = 0 ⟺ u → ⋅ v → = 0

Assim está provado o item (b)!

Passo 3

Para o item (c), consideremos o paralelogramo da figura a seguir:

As diagonais terem o mesmo comprimento é equivalente a

u → + v → = u → - v →

Mas provamos no item (b) que isso é equivalente a

u → ⋅ v → = 0

Portanto, os lados do paralelograma são perpendiculares: trata-se de um retângulo!

Note que cada item do problema serve para guiar a demonstração final do item (c)!

Resposta

Demonstração.

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