Enunciado

Prove que:

a) u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2   ( u → 2 + v → 2 )

b) a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrado dos comprimentos dos quatro lados;

c) a diagonal maior de um paralelogramo é maior do que cada um dos quatro lados.

Passo 1

O item (a) é bem simples de demonstrar e vai servir como base para os demais. Para isso, temos que usar duas relações conhecidas:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v →

u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 u → ⋅ v →

Somando as equações:

u → + v → 2 + u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v → + u → 2 + v → 2 - 2 u → ⋅ v →

Os termos mistos se cancelam:

u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2   ( u → 2 + v → 2 )

Passo 2

Para os itens (b) e (c), temos que visualizar o paralelogramo e suas diagonais em termos dos vetores u → e v → :

A soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é dada por

S = u → + v → 2 + u → - v → 2

Já a soma dos quadrado dos comprimentos dos quatro lados é dada por

S ' = u → 2 + v → 2 + u → 2 + v → 2 = 2   ( u → 2 + v → 2 )

Do resultado do item (a), vemos que

S = S '

Provamos o que o item pedia!

Passo 3

Para o item (c), temos que lembrar que a diagonal maior sempre corresponde ao ângulo agudo, enquanto a diagonal menor corresponde ao ângulo obtuso. Sendo assim, vamos supor que a diagonal maior é dada por u → + v → , sendo o ângulo entre u → e v → agudo, como na figura.

Sabemos que

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v →

Como o ângulo entre u → e   v → é agudo, sabemos que u → ⋅ v → ≥ 0 , de modo que

u → + v → 2 ≥ u → 2 + v → 2

Assim, sabemos que

u → + v → 2 ≥ u → 2             e           u → + v → 2 ≥ v → 2

Ou ainda,

u → + v → ≥ u →             e             u → + v → ≥ u →

Assim, vemos que a diagonal maior é maior que cada um dos lados do paralelogramo!

Resposta

Demonstração.

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