Enunciado

Sendo e → 1 = ( 1 ,   2 ,   2 ) , e → 2 = ( 1 ,   0 ,   1 ) e e → 3 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal a partir da base e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 .

Passo 1

O problema quer que apliquemos o método de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base. Queremos achar uma base u → ,   v → ,   w → que seja ortogonal primeiro. Para isso, vamos tomar

u → = e → 1 = 1 ,   2 ,   2 ⇒ u → = 1 + 4 + 4 = 3

O segundo vetor será e → 2 menos a projeção de e → 2 sobre u → :

v → = e → 2 - p r o j u →   e → 2 = 1 ,   0 ,   1 - 1 ,   0 ,   1 ⋅ 1 ,   2 ,   2 3 2   ( 1 ,   2 ,   2 )

Portanto,

v → = 1 ,   0 ,   1 - 1 3 1 ,   2 ,   2 = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

Por simplicidade, vamos desconsiderar os denominadores e tomar um novo   v → paralelo ao anterior:

v → = 2 ,   - 2 ,   1 ⇒ v → = 3

Passo 2

Para achar w → , fazemos

w → = e → 3 - p r o j u →   e → 3 - p r o j v →   e → 3

Vamos calcular as projeções:

p r o j u →   e → 3 = 1 ,   1 ,   1 ⋅ ( 1 ,   2 ,   2 ) 3 2   1 ,   2 ,   2 = 5 9 1 ,   2 ,   2 = 5 9 , 10 9 , 10 9

p r o j v →   e → 3 = 1 ,   1 ,   1 ⋅ ( 2 ,   - 2 ,   1 ) 3 2   2 ,   - 2 ,   1 = 1 9 2 ,   - 2 ,   1 = 2 9 ,   - 2 9 , 1 9

Portanto,

w → = 1 ,   1 ,   1 - 5 9 , 10 9 , 10 9 - 2 9 ,   - 2 9 , 1 9 = 2 9 , 1 9 ,   - 2 9

Assim como fizemos no passo 1, por simplicidades, vamos tomar

w → = ( 2 ,   1 ,   - 2 ) ⇒ w → = 3

Passo 3

Já construímos uma base ortogonal, agora vamos normalizar cada vetor. Para isso, basta dividir o vetor pela norma:

i → = u → u → = 1 3 , 2 3 , 2 3

j → = v → v → = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

k → = w → w → = 2 3 , 1 3 ,   - 2 3

Portanto, a base é composta pelos vetores:

1 3 , 2 3 , 2 3 ,             2 3 ,   - 2 3 , 1 3 ,             2 3 , 1 3 ,   - 2 3

Resposta

1 3 , 2 3 , 2 3 ,             2 3 ,   - 2 3 , 1 3 ,             2 3 , 1 3 ,   - 2 3

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