Enunciado

Sejam S a base canônica de R 3 e B = v 1 ,   v 2 ,   v 3 a base dada por v 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ) , v 2 = 2 ,   5 ,   0 e v 3 = 3 ,   3 ,   8 .

a) Encontre a matriz de transição P B → S por inspeção.

a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição P S → B .

b) Confirme que P B → S e P S → B são inversas uma da outra.

d) Seja w = 5 ,   - 3 ,   1 . Encontre w B e então use a fórmula (11) para calcular w S .

e) Seja w = 3 ,   - 5 ,   0 . Encontre w S e então use a fórmula (12) para calcular w B .

Passo 1

O item (a) pede para escrever a matriz de transição da base B para a base S (canônica). Para isso, temos que escrever os vetores da base B com suas coordenadas na base S :

v 1 = 1 ,   2 ,   1 S

v 2 = 2 ,   5 ,   0 S

v 3 = 3 ,   3 ,   8 S

Se a base S não fosse a canônica, isso daria muito mais trabalho, então sempre agradeça quando a base do problema for a canônica!

Agora ficou fácil, basta escrever as coordenadas na coluna da matriz:

P B → S = 1 2 3 2 5 3 1 0 8

Passo 2

Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:

1 2 3 2 5 3 1 0 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!

Multiplicando a primeira linha por - 2 e somando com a segunda:

1 2 3 0 1 - 3 1 0 8 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Agora multiplicamos a primeira linha por - 1 e somamos com a terceira:

1 2 3 0 1 - 3 0 - 2 5 1 0 0 - 2 1 0 - 1 0 1

Em seguida, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos com a terceira:

1 2 3 0 1 - 3 0 0 - 1 1 0 0 - 2 1 0 - 5 2 1 → 1 2 3 0 1 - 3 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 5 - 2 - 1

Daí, multiplicamos a terceira linha por 3 e somamos com a segunda:

1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1

Agora multiplicamos a terceira linha por - 3 e somamos com a primeira:

1 2 0 0 1 0 0 0 1 - 14 6 3 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1

Por fim, multiplicamos a segunda linha por - 2 e somamos com a primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1

Com isso, achamos

P S → B = - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que P S → B é a inversa de P B → S . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:

P S → B   P B → S = - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1 1 2 3 2 5 3 1 0 8 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Da mesma forma,

P B → S   P S → B = 1 2 3 2 5 3 1 0 8 - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!

Passo 4

Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor

w = 5 ,   - 3 ,   1

Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base B . Assim, escrevemos

w = a v 1 + b v 2 + c v 3

5 ,   - 3 ,   1 = a   1 ,   2 ,   1 + b   2 ,   5 ,   0 + c   ( 3 ,   3 ,   8 )

Logo,

a + 2 b + 3 c = 5 2 a + 5 b + 3 c = - 3 a + 8 c = 1

Resolvendo esse sistema, achamos

a = - 239 ,             b = 77 ,             c = 30

Portanto, temos que

w = - 239 ,   77 ,   30 B

Ou ainda,

w B = - 239 77 30

Para achar w S , usamos

w S = P B → S w B = 1 2 3 2 5 3 1 0 8 - 239 77 30

Portanto,

w S = 5 - 3 1

Ou ainda,

w = 5 ,   - 3 ,   1 S

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor

w = 3 ,   - 5 ,   0

Como a base S é canônica, temos que

w = 3 ,   - 5 ,   0 S ⇒ w S = 3 - 5 0

Para achar w B , usamos a expressão

w B = P S → B w S = - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1 3 - 5 0

Com isso, achamos

w B = - 200 64 25

Resposta

P B → S = 1 2 3 2 5 3 1 0 8

P S → B = - 40 16 9 13 - 5 - 3 5 - 2 - 1

w = 5 ,   - 3 ,   1 ⇒ w S = 5 - 3 1           e           w B = - 239 77 30

w = 3 ,   - 5 ,   0 ⇒ w S = 3 - 5 0           e           w B = - 200 64 25

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