Enunciado

A matriz de T :   R 2 → R 2 relativa à base B = { v 1 , v 2 } , sendo v 1 = ( 1 ,   1 ) e v 2 = ( 3 ,   2 ) , é:

2 1 - 1 - 3

a) Determinar T v 1 B e T v 2 B .

b) Determinar T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .

c) Calcular T ( x , y ) .

Passo 1

A questão forneceu a matriz de transformação linear de T na base B . No item (a) temos que calcular as transformações T v 1 B e T v 2 B . Para isso, temos que escrever v 1 e v 2 na base B . Como eles forma a base B , temos que

v 1 = 1 ,   0 B

v 2 = 0 ,   1 B

Agora podemos efetuar o produto de matrizes:

2 1 - 1 - 3 ⋅ 1 0 = 2 - 1

2 1 - 1 - 3 ⋅ 0 1 = 1 - 3

Assim,

T v 1 B = 2 , - 1 B

T v 2 B = 1 , - 3 B

Passo 2

No item (b), devemos passar esses vetores para a base canônica:

T v 1 = 2   1 ,   1 - 1   3 ,   2 = ( - 1 ,   0 )

T v 2 = 1   1 ,   1 - 3   3 ,   2 = ( - 8 ,   - 5 )

Passo 3

Por fim, como temos as transformações na base canônica

T v 1 = T 1 ,   1 = ( - 1 ,   0 )

T v 2 = T 3 ,   2 = ( - 8 ,   - 5 )

podemos achar T ( x , y ) . Para isso precisamos primeiro de T ( 1 ,   0 ) e T ( 0 ,   1 ) ::

T 1 ,   1 = T 1 ,   0 + T 0 ,   1 = ( - 1 ,   0 )

T 3 ,   2 = 3   T 1 ,   0 + 2   T 0 ,   1 = ( - 8 ,   - 5 )

Da primeira equação:

T 1 ,   0 = - 1 ,   0 - T ( 0 ,   1 )

Substituindo na segunda:

- 3 ,   0 - 3   T 0 ,   1 + 2   T 0 ,   1 = ( - 8 ,   - 5 )

Logo,

T 0 ,   1 = - 3 ,   0 - - 8 ,   - 5 = ( 5 ,   5 )

Portanto,

T 1 ,   0 = - 1 ,   0 - 5 ,   5 = ( - 6 ,   - 5 )

Passo 4

Desta forma, temos que

T x , y = x   T 1 ,   0 + y   T ( 0 ,   1 )

Substituindo T 1 ,   0 = ( - 6 ,   - 5 ) e T 0 ,   1 = ( 5 ,   5 ) . Logo,

T x , y = - 6 x , - 5 x + ( 5 y , 5 y )

Portanto,

T x , y = ( - 6 x + 5 y , - 5 x + 5 y )

Resposta

T v 1 B = 2 , - 1 B

T v 2 B = 1 , - 3 B

T v 1 = ( - 1 ,   0 )

T v 2 = ( - 8 ,   - 5 )

T x , y = ( - 6 x + 5 y , - 5 x + 5 y )

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Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. T : P 2 → P 3 com T a 0 + a 1 x + a 2 x 3 = x ( a 0 + a 1 x + a 2 x 3 ) . T : P 2 → P 3 com T p x = p ( x +
Decida se a fórmula T a ,b ,c = a x 2 + b x + c define uma transformação linear injetora de R 3 em P 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3