Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R 4 ,     T x , y = ( y ,   x ,   y ,   x )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( y ,   x ,   y ,   x ) . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c ,   b + d = ( b + d ,   a + c ,   b + d ,   a + c )

Separando em duas partes:

T u + v = b ,   a ,   b , a + ( d ,   c ,   d ,   c )

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b = ( λ b ,   λ a ,   λ b ,   λ a )

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   b ,   a ,   b ,   a = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F :R 3 → R 3 definida por F ( 1 ,0 ,0 ) = ( 1 ,1 ,0 ) e F ( 0,0 ,1 )=( 0 ,0 ,2 ) e F 0 ,1,0 = ( 1 ,1 ,2 ). Determinar uma base de cada um dos seguintes sub-espaços vetoriais: K e r ( F ), I m ( F
Seja e 1 , … , e n a base canônica do R n . Seja F : R n → R n o operador linear dado por F e 1 = e 2 ,F e 2 = e 3 , … , F e n = e 1 . Determinar F x 1 , … , x n e verificar se F é um automorfismo. Se
Consideremos uma transformação linear F : U → V . Se dim ⁡ Udim ⁡ V , prove que existe um vetor não nulo u 0 ∈ U tal que F u 0 = 0 (vetor nulo de V ). (Ou seja, F não é injetora.)
Sejam u , v ∈ R 2 vetores tais que u , v é uma base do R 2 . Sendo F : R 2 → R n uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica: F u , F v é LI; dim ⁡ I m F = 1 I m F
Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U ⊕ V . Consideremos o espaço vetorial U × V cuja adição é u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 e cuja multiplicação por escalares é dada por