Enunciado

São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 3 → R 2 ,     T x , y , z = ( x + 2 y - z , 2 x - y + z )

Passo 1

O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.

Para achar o núcleo, temos que lembrar que x , y ∈ N ( T ) se T x , y , z = ( 0 ,   0 ) :

( x + 2 y - z , 2 x - y + z ) = ( 0 ,   0 )

Assim,

x + 2 y - z = 0 2 x - y + z = 0

Somando as equações:

3 x + y = 0 ⇒ y = - 3 x

Substituindo na primeira equação:

x - 6 x - z = 0 ⇒ z = - 5 x

Portanto,

x , y , z = x ,   - 3 x ,   - 5 x = x   ( 1 ,   - 3 ,   - 5 )

Vemos então que o núcleo é gerado pelo vetor ( 1 ,   - 3 ,   - 5 ) :

N T = t   1 ,   - 3 ,   - 5     t ∈ R }

Uma imagem para o núcleo é

B = { 1 ,   - 3 ,   - 5 }

Como a dimensão do núcleo é 1 , e não nula, T não é injetora!

Passo 2

Agora vamos estudar a imagem de T :

T x , y , z = x + 2 y - z , 2 x - y + z = x   1 ,   2 + y   2 ,   - 1 + z   ( - 1 ,   1 )

Assim, a imagem é gerada pelo conjunto

A = { 1 ,   2 ,   2 ,   - 1 ,   ( - 1 ,   1 ) }

Mas note que o conjunto A é LD. Descartando um dos vetores, obtemos o conjunto B que é LI:

B = { 1 ,   2 ,   2 ,   - 1 }

Como B é gerador e LI, trata-se de uma base para I m ( T ) . Além disso, como dim ⁡ I m ( T ) = 2 que é a dimensão do espaço de chegada da transformação, a imagem de T corresponde a todo plano:

I m T = R 2

Assim, T é sobrejetora!

Resposta

N T = t   1 ,   - 3 ,   - 5     t ∈ R }

dim ⁡ N ( T ) = 1

B = { 1 ,   - 3 ,   - 5 }

I m T = R 2

dim ⁡ I m ( T ) = 2

Não é injetora, mas é sobrejetora.

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