Enunciado

Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 1?

Passo 1

Falaaa, blzz??? Para começar essa questão ler o exemplo 17.1 do mesmo capítulo, pode ajudar a entender melhor.

Bom, para começar vamos lembrar que no caso dessa hipérbole o eixo dela fica sobre a reta y=x.

Além disso, sabemos que o ponto (1,1) pertence à hipérbole

Passo 2

Como o valor de a é a distância do centro (própria origem) até o vértice (1,1), temos que

a = 2 2 = b

Passo 3

Agora vamos usar que P = 1,1 ,     F = t , t   e   F ' = - t , - t e:

d P , F - d P , F ' = 2 a =   2

1 - t 2 + 1 - t 2 - 1 + t 2 + 1 + t 2 =   2

2 1 - t 2 - 2 1 + t 2 = 2

2 1 - t 2 - 1 + t 2 = 2

Daqui tiramos t =   ± 1 2

Logo:

F = 1 2 , 1 2   e   F ' = ( - 1 2 , - 1 2 )

Resposta

F = 1 2 , 1 2   e   F ' = ( - 1 2 , - 1 2 )

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