Enunciado

2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 3 são linearmente dependentes?

(a) 4 , - 1 ,   2 ,     ( - 4 ,   10 ,   2 )

(b) - 3,0 ,   4 ,     5 ,   - 1 ,   2 ,     ( 1 ,   1 ,   3 )  

(c) 8 , - 1 ,   3 ,     ( 4 ,   0 ,   1 )

(d)   - 2 ,   0 ,   1 ,     3 ,   2 ,   5 ,     6 , - 1 ,   1 ,   ( 7 ,   0 ,   - 2 )

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos analisar cada alternativa sem fazer muitas contas, pois inspecionando cada conjunto de vetores podemos concluir algo sobre sua linearidade.

(a)   4 , - 1 ,   2 ,     ( - 4 ,   10 ,   2 ) em R 3

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 4 , - 1 ,   2 + k 2 - 4 ,   10 ,   2 = ( 0,0 , 0 )

Vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 2

(b)   - 3,0 ,   4 ,     5 ,   - 1 ,   2 ,     ( 1 ,   1 ,   3 )   em R 3

Vamos resolver a equação vetorial para podemos chegar uma conclusão sobre o conjunto de vetores S .

k 1 - 3,0 ,   4 + k 2 5 ,   - 1 ,   2 + k 3 1 ,   1 ,   3 = ( 0,0 , 0 )

- 3 k 1 , 0 ,   4 k 1 + 5 k 2 ,   - k 2 ,   2 k 2 + k 3 ,   k 3 ,   3 k 3 = ( 0,0 , 0 )

- 3 k 1 + 5 k 2 + k 3 , - k 2 + k 3 , 4 k 1 + 2 k 2 + 3 k 3 = ( 0,0 , 0 )    

Resolvendo o sistema:

- 3 k 1 + 5 k 2 + k 3 = 0                               - k 2 + k 3 = 0   4 k 1 + 2 k 2 + 3 k 3 = 0

Da segunda equação, temos:

k 2 = k 3

Substituindo k 2 primeira equação temos:

- 3 k 1 + 5 ( k 3 ) + k 3 = 0

3 k 1 = 6 k 3

k 1 = 2 k 3

Substituindo k 1 e k 2 na terceira equação:

4 ( 2 k 3 ) + 2 ( k 3 ) + 3 k 3 = 0

8 k 3 + 2 k 3 + 3 k 3 = 0

1 3 k 3 = 0

k 3 = 0

Logo podemos concluir que a equação tem apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 3

(c) 8 , - 1 ,   3 ,     ( 4 ,   0 ,   1 )

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 8 , - 1 ,   3 + k 2 ( 4 ,   0 ,   1 ) = ( 0,0 , 0 )

Vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 4

(d)   - 2 ,   0 ,   1 ,     3 ,   2 ,   5 ,     6 , - 1 ,   1 ,   ( 7 ,   0 ,   - 2 )

Nesse caso podemos resolver de maneira bem rápida utilizando o Teorema 4.3.3, que diz:

Seja S = { v 1 → , v 2 → , … , v r → } um conjunto de vetores em R n . Se r > n , então S é linearmente dependente.

Analisando a questão, observe que temos quatro vetores, no espaço R 3 , logo r = 4 e n = 3 . Como r > n , podemos concluir que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

(a) linearmente independente

(b) linearmente independente

(c) linearmente independente

(d) linearmente dependente pelo teorema 4.3.3

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