Enunciado

Seja

A =   4 0 1 2 3 2 1 0 4

  1. Para cada valor de λ , encontre o posto da matriz λ I - A .

Passo 1

Vamos primeiro escrever a matriz λ I - A ,

λ - 4 0 1 2 λ - 3 2 1 0 λ - 4

Substituindo para cada uns dos autovalores encontrados teremos as seguintes matrizes,

Para λ = 3 ,

- 1 0 1 2 0 2 1 0 - 1

Para λ = 5 ,

1 0 1 2 2 2 1 0 1

Passo 2

Lembrando que o posto de uma matriz é o número de linhas não-nulas. E para fazermos isso, precisamos encontrar a forma escalona reduzida das matrizes em questão, sendo assim,

Para a matriz associada a λ = 3 ,

- 1 0 1 2 0 2 1 0 - 1   A p l i c a n d o ,   R 1   ↔ R 2

= 2 0 2 - 1 0 1 1 0 - 1     A p l i c a n d o ,   R 2   ← R 2 + 1 2 R 1

= 2 0 2 0 0 2 1 0 - 1 A p l i c a n d o ,   R 3   ← R 3 - 1 2 R 1

= 2 0 2 0 0 2 0 0 - 2

Para a matriz associada a λ = 5 ,

1 0 1 2 2 2 1 0 1   A p l i c a n d o ,   R 1   ↔ R 2

= 2 2 2 1 0 1 1 0 1     A p l i c a n d o ,   R 2   ← R 2 - 1 2 R 1

= 2 2 2 0 - 1 0 1 0 1 A p l i c a n d o ,   R 3   ← R 3 - 1 2 R 1

= 2 2 2 0 - 1 0 0 - 1 0 A p l i c a n d o ,   R 3   ← R 3 - R 2

= 2 2 2 0 - 1 0 0 - 0 0

Resposta

Agora que temos as matriz escalonadas reduzidas, contamos o número de linhas não-nulas de cada matriz e percebemos que ambas as matrizes tem posto igual a 2.

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