Enunciado

Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:

1 5 2 5 2 5 - 1 5

Passo 1

A questão pede para dizermos se a matriz é ortogonal ou não. Para que ela seja ortogonal, sua inversa deve ser igual a sua transposta.

Como se trata de uma matriz 2 × 2 , podemos usar o seguinte truque para achar a inversa:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

A - 1 = 1 - 1 5 - 4 5 - 1 5 - 2 5 - 2 5 1 5 = 1 5 2 5 2 5 - 1 5

Passo 2

Para obter a transposta, basta trocar linha com coluna:

A t = 1 5 2 5 2 5 - 1 5

Assim, vemos que A t = A - 1 , logo a matriz é ortogonal!

Além disso,

det ⁡ A = - 1 5 - 4 5 = - 1

Como det ⁡ A ≠ 1 , essa matriz não representa uma rotação!

Resposta

É ortogonal, mas não representa uma rotação.

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Seja T : V → V um operador normal em um espaço vetorial complexo. Seja 𝕨 um subespaço de V . Mostre que(a) Se w é T-invariante, então w e também T * -invariante.(b) Se w é T-invariante, então w ⊥ tam
Mostre que um operador T é unitário (ortogonal) se, e somente se, T * existe e T * T = T T * = I .
Seja T : V → V um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:a) O operador T é unitário (ortogonal).b) O operador T leva base ort