Enunciado

Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^2 -> R^2 , T (x , y) = ((1)/(sqrt(2)) x - (1)/(sqrt(2)) y , (1)/(sqrt(2)) x + (1)/(sqrt(2)) y)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0) = ((1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

T (0 , 1) = (- (1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

Assim,

[T] = [[[(1)/(sqrt(2)),-,(1)/(sqrt(2))],[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o macete das matrizes 2 xx 2 :

([[[a,b],[c,d]]])^(- 1) = (1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]]

Assim,

[T]^(- 1) = [[[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))],[-,(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Passo 3

Para achar a transposta, basta trocar linha com coluna:

[T]^t = [[[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))],[-,(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Vemos que [T]^(- 1) = [T]^t , de modo que T é ortogonal!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dizemos que um operador auto adjunto T : V → V , em um espaço com produto interno de dimensão finita é (definido) positivo se T V , V0 , para todo V ∈ V ,V ∈ 0 - . Mostre que são equivalentes as segui
Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Suponha que T seja auto adjunto se V for um espaço vetorial real e que T seja norma se 𝕍 for um espaço
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Mostre que um operador linear T : V → V e unitário se, e somente se, ele é normal e λ = 1 para todo autovalor λ de T .
Uma matriz A , nxn , é chamada (definida) positiva se o operador T : R n → R n definido por T X = A X , para todo X ∈ R n e um operador definido positivo. Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obt
Seja T : V → V um operador linear ortogonal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,e mq u eD i =