Quais dos seguintes subconjuntos do C 3 são L.I sobre C ?

  1. i ,   1 ,   0 ,   1 + i ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0
  2. i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i
  3. { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i }

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, sabemos que dado o conjunto de vetores C = v 1 ,   v 2 ,   v 3 de C 3 , ele é L.I, se

z 1 v 1 + z 2 v 2 + z 3 ( v 3 ) = 0

Implicar que z 1 = z 2 = z 3 = 0 . Sendo que z   pertence a C e z = a + b i .

Passo 2

Na letra (a) temos o conjunto i ,   1 ,   0 ,   1 + i ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0 , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 1 + i ,   2 ,   0 + ( a 3 + b 3 i ) ( 3 ,   1 ,   0 ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + a 2 + b 2 i + a 2 i - b 2 + 3 a 3 + 3 b 3 i = 0

c 1 = ( a 1 i + a 2 i + 1 + 3 a 3 ) + ( - b 1 + b 2 i - 1 + 3 b 3 i ) = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + 2 a 2 + 2 b 2 i + a 3 + b 3 i = a 1 + 2 a 2 + a 3 + b 1 i + 2 b 2 i + b 3 i = 0

c 3 = a 1 + b 1 i 0 + a 2 + b 2 i 0 + a 3 + b 3 i 0 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = 1 i + 1 3 1 2 1 0 0 0 ,       b = - 1 i - 1 3 1 2 1 0 0 0

Logo nas duas matrizes temos uma linha inteira de zeros, isso quer dizer que nossa solução, se houver, não será única e portanto a solução do sistema para 0 não será somente a solução trivial, o que faz do nosso conjunto, um conjunto L.D.

Passo 3

Na letra (b) temos o conjunto i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 0 ,   1 ,   i + ( a 3 + b 3 i ) ( 0 ,   i ,   i ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + 0 = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i + a 3 i - b 3 = a 1 + a 2 + a 3 i + b 1 i + 2 b 2 i - b 3 = 0

c 3 = 0 + a 2 i - b 2 + a 3 i - b 3 = a 2 i + a 3 i + - b 2 - b 3 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = i 0 0 1 1 i 0 i i ,       b = - 1 0 0 i 2 i - 1 0 - 1 - 1

Logo nas duas matrizes temos que as linhas são L.Is, e se a matriz é quadrada e todas as linhas são independentes, isso quer dizer que só existe uma solução pro sistema, a solução trivial. Logo o conjunto i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i é L.I.

Passo 4

Na letra (c) temos o conjunto { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i } , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 2 + i ,   3 i ,   5 - i + a 3 + b 3 i 2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + 2 a 2 + a 2 i + 2 b 2 i - b 2 + 2 a 3 + 2 b 3 i = 0

⇒ c 1 = ( a 1 i + a 2 i + 2 + 2 a 3 ) + ( - b 1 + b 2 2 i - 1 + 2 b 3 i ) = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + 3 a 2 i - 3 b 2 + 4 a 3 + 4 a 3 i + 4 a 3 i - 4 b 3 = 0

⇒ c 2 = a 1 + 3 a 2 i + a 3 4 i + 4 + b 1 i - 3 b 2 + b 3 4 i - 4 = 0

c 3 = 0 + 5 a 2 - a 2 i + 5 b 2 i + b 2 + 4 a 3 - 6 a 3 i + 4 b 3 i + 6 b 3 = 0

⇒ c 3 = a 2 5 - i + a 3 4 - 6 i + b 2 5 + i + b 3 4 i + 6 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = i i + 2 2 1 3 i 4 i + 4 0 5 - i 4 - 6 i ,       b = - 1 2 - i 2 1 - 3 4 i - 4 0 5 + i 4 + 6 i

Escalonando a

i i + 2 2 1 3 i 4 i + 4 0 5 - i 4 - 6 i 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 + i L 1   = i i + 2 2 0 - 1 + 5 i 4 + 6 i 0 5 - i 4 - 6 i 0 0 0

⇒       L 3 = L 3 + 5 + 12 i 13 L 2 = i i + 2 2 0 - 1 + 5 i 4 + 6 i 0 0 0 0 0 0

Logo temos uma linha inteira de zeros, isso quer dizer que nossa solução, se houver, não será única e portanto a solução do sistema para 0 não será somente a solução trivial, então não precisamos nem calcular para b , nosso conjunto { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i } é um conjunto L.D.

Resposta

  1. Não é L.I.
  2. É L.I.
  3. Não é L.I.
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