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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 9

Quais dos seguintes subconjuntos do C 3 são L.I sobre C ?

  1. i ,   1 ,   0 ,   1 + i ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0
  2. i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i
  3. { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i }

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, sabemos que dado o conjunto de vetores C = v 1 ,   v 2 ,   v 3 de C 3 , ele é L.I, se

z 1 v 1 + z 2 v 2 + z 3 ( v 3 ) = 0

Implicar que z 1 = z 2 = z 3 = 0 . Sendo que z   pertence a C e z = a + b i .

Passo 2

Na letra (a) temos o conjunto i ,   1 ,   0 ,   1 + i ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0 , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 1 + i ,   2 ,   0 + ( a 3 + b 3 i ) ( 3 ,   1 ,   0 ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + a 2 + b 2 i + a 2 i - b 2 + 3 a 3 + 3 b 3 i = 0

c 1 = ( a 1 i + a 2 i + 1 + 3 a 3 ) + ( - b 1 + b 2 i - 1 + 3 b 3 i ) = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + 2 a 2 + 2 b 2 i + a 3 + b 3 i = a 1 + 2 a 2 + a 3 + b 1 i + 2 b 2 i + b 3 i = 0

c 3 = a 1 + b 1 i 0 + a 2 + b 2 i 0 + a 3 + b 3 i 0 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = 1 i + 1 3 1 2 1 0 0 0 ,       b = - 1 i - 1 3 1 2 1 0 0 0

Logo nas duas matrizes temos uma linha inteira de zeros, isso quer dizer que nossa solução, se houver, não será única e portanto a solução do sistema para 0 não será somente a solução trivial, o que faz do nosso conjunto, um conjunto L.D.

Passo 3

Na letra (b) temos o conjunto i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 0 ,   1 ,   i + ( a 3 + b 3 i ) ( 0 ,   i ,   i ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + 0 = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i + a 3 i - b 3 = a 1 + a 2 + a 3 i + b 1 i + 2 b 2 i - b 3 = 0

c 3 = 0 + a 2 i - b 2 + a 3 i - b 3 = a 2 i + a 3 i + - b 2 - b 3 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = i 0 0 1 1 i 0 i i ,       b = - 1 0 0 i 2 i - 1 0 - 1 - 1

Logo nas duas matrizes temos que as linhas são L.Is, e se a matriz é quadrada e todas as linhas são independentes, isso quer dizer que só existe uma solução pro sistema, a solução trivial. Logo o conjunto i ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   i ,   0 ,   i ,   i é L.I.

Passo 4

Na letra (c) temos o conjunto { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i } , então

a 1 + b 1 i i ,   1 ,   0 + a 2 + b 2 i 2 + i ,   3 i ,   5 - i + a 3 + b 3 i 2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo os termos ( c 1 , c 2 ,   c 3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 ) são

c 1 = a 1 i - b 1 + 2 a 2 + a 2 i + 2 b 2 i - b 2 + 2 a 3 + 2 b 3 i = 0

⇒ c 1 = ( a 1 i + a 2 i + 2 + 2 a 3 ) + ( - b 1 + b 2 2 i - 1 + 2 b 3 i ) = 0

c 2 = a 1 + b 1 i + 3 a 2 i - 3 b 2 + 4 a 3 + 4 a 3 i + 4 a 3 i - 4 b 3 = 0

⇒ c 2 = a 1 + 3 a 2 i + a 3 4 i + 4 + b 1 i - 3 b 2 + b 3 4 i - 4 = 0

c 3 = 0 + 5 a 2 - a 2 i + 5 b 2 i + b 2 + 4 a 3 - 6 a 3 i + 4 b 3 i + 6 b 3 = 0

⇒ c 3 = a 2 5 - i + a 3 4 - 6 i + b 2 5 + i + b 3 4 i + 6 = 0

Então podemos montar uma matriz pra cada uma das variáveis, a e b .

a = i i + 2 2 1 3 i 4 i + 4 0 5 - i 4 - 6 i ,       b = - 1 2 - i 2 1 - 3 4 i - 4 0 5 + i 4 + 6 i

Escalonando a

i i + 2 2 1 3 i 4 i + 4 0 5 - i 4 - 6 i 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 + i L 1   = i i + 2 2 0 - 1 + 5 i 4 + 6 i 0 5 - i 4 - 6 i 0 0 0

⇒       L 3 = L 3 + 5 + 12 i 13 L 2 = i i + 2 2 0 - 1 + 5 i 4 + 6 i 0 0 0 0 0 0

Logo temos uma linha inteira de zeros, isso quer dizer que nossa solução, se houver, não será única e portanto a solução do sistema para 0 não será somente a solução trivial, então não precisamos nem calcular para b , nosso conjunto { i ,   1 ,   0 ,   2 + i ,   3 i ,   5 - i ,   2 ,   4 + 4 i ,   4 - 6 i } é um conjunto L.D.

Resposta

  1. Não é L.I.
  2. É L.I.
  3. Não é L.I.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere os seguintes subespaços de R 3 : V=[ ( - 1,2 , 3 ) , ( 1,3 , 4 ) ] e W= [ ( 1,2 , - 1 ) , ( 0,1 , 1 ) ] . Encontre as equações paramétricas da reta V ∩ W e uma base para o subespaço V ∩ W .
Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .b) Determine uma base para V .
Seja W o plano x+2 y+ 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .
Dê exemplo de: a ) Três vetores V 1 , V 2 e V 3 , sendo { V 1 } L.I., { V 2 , V 3 } L. I., V 2 e V 3 não são múltiplos de V 1 e { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D.
Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.c) Definimos a soma dos subespaços W 1 e W 2 por W 1 + W 2 = { V 1 + V 2 | V 1 ∈ W 1 eV 2 ∈ W 2 } Mostre que W 1 + W 2 é um subespaço que contém W 1 e W 2 .