Enunciado

Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:

A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo.

Passo 1

A questão pede para acharmos a inversa de uma reflexão em torno do eixo x . Para isso, você deve lembrar que nesse tipo de transformação, ocorre o seguinte:

x , y → ( x , - y )

Assim, a matriz de transformação é

T = 1 0 0 - 1

Note que det ⁡ T = - 1 ≠ 0 , logo a transformação admite inversa!

Passo 2

Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

T - 1 = 1 ( - 1 ) - 1 0 0 1 = 1 0 0 - 1

Note que a matriz inversa é igual a própria matriz. Desta forma, a inversa de uma reflexão em torno do eixo x também é uma reflexão em torno do mesmo eixo.

Resposta

Demonstração.

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Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A inversa de uma rotação no plano por um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo - θ .
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 3 x - 4 y , - x + 2
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + y - z , x +
No plano, uma rotação de π / 3 radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y .a) Mostrar que a transformação é um isomorfismo.b) Determinar a inversa da transformação definida.
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x , - y )