Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini - Capítulo 8.9 - Ex. 13
Ver Outros Exercíciosdesse livro
Seja e .
- Encontre .
- Encontre uma base ortogonal para e .
- Se fosse , qual seria ? Neste caso, encontre uma base ortogonal para e .
Passo 1
- Perceba que não é um subespaço, por isso não faz sentido falarmos em base. Queremos apenas o conjunto de vetores que são ortogonais aos vetores de . Para isso, vamos proceder como abaixo.
- Perceba que não é um subespaço e não faz sentido falar de base.
- Nesse caso, é um subespaço.
Antes de continuar, é importante verificar se os vetores de são LI para não fazer contas desnecessárias. Fazendo uma combinação linear nula:
Que resulta no sistema:
Das duas últimas temos:
Substitiuindo na primeira:
Então temos:
Fazendo :
Ou seja, podemos descartar o vetor .
Disso, temos apenas os vetores e , que você pode concluir rapidamente que são LI.
Passo 2
Agora, vamos fazer os produtos internos para achar :
Que gera o sistema:
Que nos permite escrever os vetores de :
Passo 3
Passo 4
Para não precisamos fazer nenhuma conta.
Para , vamos fazer o procedimento padrão:
Fazendo os produtos internos:
Assim:
Resposta
- ;
- não é subespaço;
- Base de . Base de .
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